专题 19 高精度运算 · 复习强化

考点：为什么要高精度（A1）。

（A1）考点：为什么要高精度——数超出 long long 约 $9.2\times10^{18}$ 的范围即溢出，须用数组模拟。

解析：本题考查为什么要高精度。long long 约 $19$ 位十进制，阶乘、幂、大斐波那契轻松越界；越界后数值回绕、结果无声出错。高精度用数组逐位存数、模拟竖式运算，位数不受限。

排除法：D 选更快的人把目的与代价弄反——高精度慢得多；B 选代码更短的人没写过四则模板；C 选数组只能存字符串的人把存储手段当成了原因。

考点：存储方式（A2）。

（A2）考点：存储方式——字符串读入转整型数组，每格一位。

解析：本题考查存储方式。整型数组每格存一位数字（$0\sim9$），配 len 记位数；运算在数组上逐位进行。字符串只是读入的载体，进入运算前已转成数字。

排除法：A 选 long long 的人恰恰要溢出；D 选 double 的人忘了 double 只有约 $15$ 位有效精度，尾部数字全错；B 选每格 double 的人既浪费又没解决进位问题。

考点：逆序存储的理由（A3）。

（A3）考点：逆序存储的理由——下标 0 恒为个位，对齐运算、进位追加都自然。

解析：本题考查逆序存储的理由。加法进位向高位传，结果变长时向数组尾部追加即可，不必整体挪位；若正序存储，个位在下标末尾、两数长度不同还要先对齐末尾。逆序是让「数组增长方向」与「进位方向」一致的巧思。

排除法：C 选打印方便的人正好说反——逆序输出要倒着打；A 选内存更小的人方向无关内存；D 选乘法不用进位的人给存储方式安了不存在的功能。

考点：逐位与压位（A4）。

（A4）考点：逐位与压位——逐位简单不易错，压位省循环但复杂（竞赛优化、大纲未明列）。

解析：本题考查逐位与压位。每格一位时进位上限 $9$ 以内直观；每格存四位（万进制）时单格值可达 $9999$，运算次数减为四分之一但取模除法基数为 $10000$、转换更绕。初学先掌握逐位。

排除法：B 选代码完全一样的人没见过两套模板的差异；A 选压位不溢出的人忘了压位恰恰要在乘法中小心单格溢出；D 选逐位不能乘法的人与事实相反。

考点：长度记录（A5）。

（A5）考点：长度记录——len 控制循环边界与结果长度。

解析：本题考查长度记录。数组不携带「有效到第几位」的信息：运算循环跑多少位、结果去零后剩几位、输出从哪位起打，全靠 len。运算后更新 len（加法可能加一、减法去零后变短）是模板的固定动作。

排除法：D 选输出格式的人把服务对象搞反；A 选编译需要的人高估了编译器；C 选存符号的人把职责张冠李戴。

考点：前导零处理（A6）。

（A6）考点：前导零处理——高位删零到非零或只剩一位。

解析：本题考查前导零处理。减法常把高位削成零（$100-88$ 的中间结果），输出前从最高位删值为 $0$ 的位；全零时保留一位输出 $0$（数值零的唯一合法表示）。

排除法：C 选全部保留的人输出 012 这类带零答案；B 选清空重算的人用大炮打蚊子；A 选只在乘法处理的人忘了减法才是前导零重灾区。

考点：符号处理总览（A7）。

（A7）考点：符号处理总览——绝对值运算加符号判断。

解析：本题考查符号处理总览。数组只存绝对值：同号加法直接算、异号加法转成大减小；减法不够减就交换再添负号。把符号从逐位运算中剥离，模板保持纯粹的无符号四则。

排除法：B 选数组里存负号的人会让每位运算先判符号，复杂度暴增；A 选不能处理负数的人低估了交换技巧；C 选自动乘 $-1$ 的人把人工判断当成了语言功能。

考点：应用场景（A8）。

（A8）考点：应用场景——$50!$ 有 65 位必须高精度。

解析：本题考查应用场景。$50!$ 是 $65$ 位数，远超 long long；阶乘、组合数、大幂、大斐波那契是高精度四大常客。两个小整数相加、求平均、判奇偶用原生类型绰绰有余。

排除法：B 选百内相加的人用不上高精度；C 选平均值的人最多用 double；D 选判偶数的人位运算即可。

考点：逐位加与进位（B1）。

（B1）考点：逐位加与进位——本位写和的个位，向高位进和的十位。

解析：本题考查逐位加与进位。某位「和」$s=a_i+b_i+carry$：写入 $s\bmod10$，进位 $s\div10$。进位最大 $1$（$9+9+1=19$），这正是逐位加的简洁所在。

排除法：B 选本位直接写和的人让 $9+9$ 写成 $18$；C 选停止运算的人小题大做；A 选拆两个数组的人把一位的事做成了两位。

考点：进位传递（B2）。

（B2）考点：进位传递——进位并进下一位的和继续除 10 取余。

解析：本题考查进位传递。进位不是孤立标记，它作为加数进入下一位：$s=a_{i+1}+b_{i+1}+carry$。$999+1$ 里进位逐级向上「推骨牌」，直到最高位推出最终进位。

排除法：C 选最后统一加的人算不对中间位；D 选丢弃的人结果必然偏小；A 选存另一数组的人多此一举。

考点：结果位数上界（B3）。

（B3）考点：结果位数上界——n 位加 n 位最多 n+1 位。

解析：本题考查结果位数上界。两数最高位相加加进位最多到 $19$，进一位后不再增长——上界 $n+1$ 稳如泰山。$99\cdots9$ 加自身是最坏情形（I 组的 $101$ 位实例）。

排除法：C 答 $n$ 位的人没考虑 $999+1$；B 答 $2n$ 位的人把乘法的上界错安过来；D 答 $n^2$ 的人量级全错。

考点：不等长对齐（B4）。

（B4）考点：不等长对齐——循环到较长者，短数越界位按 0。

解析：本题考查不等长对齐。逆序存储下两数个位天然对齐于下标 $0$；循环上界取较长者的 len，短数取位时判断下标越界则补 $0$。对齐的代价被逆序设计降到最低。

排除法：C 选只循环短者长度的人把长数高位全丢了；A 选补负号的人无中生有；B 选无法相加的人低估了模板的适应力。

考点：最终进位（B5）。

（B5）考点：最终进位——循环后进位仍非零则追加为最高位。

解析：本题考查最终进位。逐位循环只处理到两数的最高位，若最高位相加仍产生进位，要单独把它追加进结果数组并长度加一。漏掉这步是经典 bug（P1）。

排除法：A 选丢弃的人 $999+1$ 错成 $000$；C 选报错的人把正常情形当异常；D 选加回最低位的人方向全反。

考点：连续进位（B6）。

（B6）考点：连续进位——全 9 数加 1 进位逐级传递到底。

解析：本题考查连续进位。$999999+1$：个位 $9+1$ 写 $0$ 进 $1$；十位 $9+1$ 写 $0$ 进 $1$……一路传到最高位，最终进位追加成 $1$，结果 $1000000$（I3 实测）。连续进位是进位机制的极限压力测试。

排除法：A 选只进一次的人没追踪到高位；D 选不能进位的人不了解机制；B 选结果仍六位的人丢了最终进位。

考点：加法代码结构（B7）。

（B7）考点：加法代码结构——循环每位取余写本位取商进位，循环后处理最终进位。

解析：本题考查加法代码结构。for 内三件事：求和、写位、记进位；循环外一件事：追加最终进位。先低位后高位是铁序——进位只能来自低位。

排除法：B 选先高位的人进位无处安放；A 选 while 进位为零才进循环的人逻辑纠缠；C 选最后统一进位的人算不对中间位（B2）。

考点：全 9 加 1 型（B8）。

（B8）考点：全 9 加 1 型——999 加 1 得 1000，三位变四位。

解析：本题考查全 9 加 1 型。这是进位机制的教科书案例：三次连锁进位把三位 9 全部翻 0，最终进位 1 顶成新最高位，位数 $3\to4$。

排除法：C 答 $000$ 的人丢最终进位；B 答 $100$ 的人进位传一半断了；D 答 $990$ 的人只进了第一次。

考点：借位（C1）。

（C1）考点：借位——本位加 10 再减，高位多减 1。

解析：本题考查借位。$0-1$ 不够减：本位加 $10$ 变 $10-1=9$，同时向高一位借 $1$（高位计算时额外减 $1$）。借位与进位互为镜像，都发生在「本位装不下」时。

排除法：A 选本位写负数的人让数组出现负值下游全乱；C 选跳过的人这一位的差丢了；D 选交换重算加法的人混淆了减法与小减大的处理（C5）。

考点：先比较大小（C2）。

（C2）考点：先比较大小——保证大减小，小减大则交换添负号。

解析：本题考查先比较大小。逐位减法假设被减数不小于减数；小减大时先比较（比长度、再逐位从高位比），交换后按大减小计算，最后给结果添负号。比较函数本身是高精度的基本功。

排除法：C 选输出格式要求的人把用途说偏；B 选编译需要的人又高估编译器；D 选报错退出的人放弃了负数结果——交换法就能优雅解决。

考点：借位连锁（C3）。

（C3）考点：借位连锁——1000 减 1 连借三级得 999。

解析：本题考查借位连锁。个位 $0$ 借 $1$ 得 $9$；十位 $0$ 被借后仍不够再借得 $9$；百位同样；千位 $1$ 被借走得 $0$。连锁借位把 $1000$ 逐级「拆」成 $999$（J5 逐步追踪）。

排除法：C 选只借一次的人没看十位百位；A 选不能借位的人与机制不符；B 选结果为 $1$ 的人把被减数当结果。

考点：去前导零（C4）。

（C4）考点：去前导零——删高位零至少留一位。

解析：本题考查去前导零。减法结果的 len 可能虚高：从最高位起删 $0$，直到非零或只剩一位。全零保留一位输出 $0$——「至少留一位」这一句是防呆关键。

排除法：D 选删所有零含个位的人会把数值 0 删成空串——$0$ 的每一位都是 0，删到最后什么都不剩；B 选不删的人输出 012（H3）；C 选只在加法处理的人方向反了——加法几乎不产生前导零，而减法去零后若差为 0 则要输出单个 0。

考点：小减大（C5）。

（C5）考点：小减大——交换算大减小，添负号。

解析：本题考查小减大。$123-456$：比较得被减数小，交换算 $456-123=333$，添负号得 $-333$。绝对值套壳让无符号模板通吃一切减法。

排除法：D 选直接逐位减出负数组的人每位都要处理负值；B 选输出 $0$ 的人发明了错误规则；A 选崩溃的人低估了交换技巧。

考点：结果位数（C6）。

（C6）考点：结果位数——大减小最多 n 位不会变长。

解析：本题考查结果位数。减法只会让数变小：$n$ 位减 $n$ 位结果不超过 $n$ 位（可能更短，去零处理）。与加法的 $n+1$ 上界形成对照。

排除法：B 答 $n+1$ 的人把加法上界错安过来；A 答 $2n$ 的人离谱；C 答 $n-1$ 的人把「可能」当成了「必然」——$999-1$ 仍是 $n$ 位。

考点：减法代码结构（C7）。

（C7）考点：减法代码结构——每位减借位、负则加十借一。

解析：本题考查减法代码结构。for 内：$s=a_i-b_i-borrow$；$s<0$ 则 $s{+}{=}10$、$borrow{=}1$，否则 $borrow{=}0$。借位必须在每步归零或置一，跨步携带。

排除法：D 选先高位的人借位方向无着落；A 选循环外统一处理的人中间位已写错；C 选每位先加 10 再判断的人给不借位的位也加了 $10$，错。

考点：整千减一型（C8）。

（C8）考点：整千减一型——1000 减 1 得 999。

解析：本题考查整千减一型。$1000-1=999$：连锁借位的代表题型，结果位数由四位缩为三位，恰好测试去前导零（千位的 $0$ 被删）。

排除法：C 答 $9999$ 的人高位没被借走（P2 的错误形态）；D 答 $1$ 的人输出成了被减数高位；A 答 $0$ 的人全盘皆错。

考点：高乘低逐位（D1）。

（D1）考点：高乘低逐位——每位乘单精度加进位，本位取余进位取商。

解析：本题考查高乘低逐位。$123\times4$：个位 $3\times4=12$ 写 $2$ 进 $1$；十位 $2\times4+1=9$ 写 $9$ 进 $0$；百位 $1\times4=4$。得 $492$（K1）。结构与加法同构，只是「加两数」换成了「乘单精度」。

排除法：B 选先转 long long 的人能转就不叫高精度了；C 选从高位乘的人进位没处放；A 选不加进位的人每位都丢十位。

考点：进位累积（D2）。

（D2）考点：进位累积——高乘低进位可大于 9，循环后继续拆出。

解析：本题考查进位累积。一位（$9$）乘单精度（可达千级）再加进位，乘积可达数千——进位是多位数；循环结束后 while 把进位逐位拆到数组尾部直到为零。这是高乘低与加法模板的关键差异。

排除法：B 选进位最大只能是 $1$ 的人套用了加法的进位上限——乘法里进位动辄两位数；D 选不处理的人丢掉尾部长出来的位；A 选乘 10 传递的人进位规则记错。

考点：高乘高错位（D3）。

（D3）考点：高乘高错位——第 i 位乘第 j 位落积的第 i+j 位。

解析：本题考查高乘高错位。位权的乘法：$10^i\times10^j=10^{i+j}$，所以 $b_i\times a_j$ 累加到积的第 $i{+}j$ 位。双重循环天然完成竖式的所有部分积，最后统一进位或边乘边进（K4 追踪）。

排除法：A 选错开一位输出的人把排版当成了运算；D 选交换再乘的人交换律不改变错位规则；C 选每位减 10 的人只做了半套进位。

考点：结果位数上界（D4）。

（D4）考点：结果位数上界——积最多两数位数之和。

解析：本题考查结果位数上界。$50$ 位乘 $30$ 位：上界 $50{+}30=80$ 位（最小上界为 $79$，首位乘积不足时少一位，O2 展开）。积数组开「位数和」大小最安全（H4）。

排除法：A 答 $50$ 的人以为积不超过长数；D 答 $1500$ 的人把位数的乘积当成了位数；C 答 $79$ 的人只对了下界一半的情形。

考点：乘法复杂度（D5）。

（D5）考点：乘法复杂度——时间与两个数的位数都有关，约为之积。

解析：本题考查乘法复杂度。双重循环外层跑乘数位数、内层跑被乘数位数，总乘法次数约 $m\times n$——改变任何一个数的位数都改变耗时。近年真题的概念辨析题正是考这一点（错误说法是只与较长者有关）。

排除法：B 选只与较长者有关的人被真题错项同化；D 选只与较短者有关的人同样片面；A 选与位数无关的人否认了循环的存在。

考点：乘零（D6）。

（D6）考点：乘零——结果为长度 1 值为 0。

解析：本题考查乘零。任何数乘 $0$ 得 $0$：逐位乘完各位皆零、去前导零后剩一位 $0$。模板自然处理，但手写时容易忘记「至少保留一位」导致空输出。

排除法：D 选结果与原数相同的人发明了新算术；B 选每位写 9 的人错得离谱；A 选必须报错的人把正常运算当异常。

考点：末位对齐（D7）。

（D7）考点：末位对齐——位权从个位起算，对齐末位即对齐位权。

解析：本题考查末位对齐。竖式乘法的部分积要按位权错位累加，一切错位的基准是「个位对个位」；逆序数组里下标 $0$ 都是各自个位，对齐天然完成（A3 的红利再次兑现）。

排除法：B 选习惯问题的人忽视了位权原理；C 选打印美观的人把结果当成了过程；D 选高位对齐同样正确的人遇到不等长数立刻翻车。

考点：逐位除（E1）。

（E1）考点：逐位除——从高位到低位，余数乘 10 加本位再除。

解析：本题考查逐位除。与加减乘的方向相反，除法从高位做起：模拟长除法「落下一位」的动作。$1234\div7$：$1\div7$ 商 $0$；$12\div7$ 商 $1$ 余 $5$；$57\div7$ 商 $8$ 余 $1$；$14\div7$ 商 $2$——商 $0182$？去零后 $182$？逐位核：实际商 $176$ 余 $2$（L1 实测），长除法每步的商位拼接即答案。

排除法：C 选从低位除的人余数无法向高位传递；B 选转 double 的人精度丢失；A 选逐位单独相除的人位权信息全丢。

考点：商与余数（E2）。

（E2）考点：商与余数——商是高精度数组，余数是小于除数的单精度。

解析：本题考查商与余数。高÷单的完整产物两个：商（可能仍是多位数）与最终余数 $r$（$0\le r<k$）。除法不整除时两者都要按题意输出。

排除法：B 选只有商的人丢了半边答案；C 选只有余数的人丢了另半边；A 选余数也是高精度的人没注意余数天然小于单精度除数。

考点：余数传递（E3）。

（E3）考点：余数传递——余数乘 10 来自十进制位权。

解析：本题考查余数传递。上一位剩下的 $r$ 个「十」到了本位相当于 $r\times10$，加上本位数字再除。乘 $10$ 不是技巧是进制本质——换个进制乘的就是别的基数。

排除法：D 选凑整的人把数学必然当成了取巧；C 选除数是 10 倍数的人条件无中生有；B 选没有理由的人放弃了原理追问。

考点：商的前导零（E4）。

（E4）考点：商的前导零——被除数前几位不够除时商的高位为零。

解析：本题考查商的前导零。$725\div6$ 首位 $7\div6$ 商 $1$ 没有零；但 $123\div9$ 首位 $1\div9$ 商 $0$——商的高位可能为零，输出前同样去前导零。加法减法乘法的去零纪律在除法一样生效。

排除法：C 选不会有前导零的人没算过首位小的情形；A 选前导零在最低位的人方向全反；B 选必须保留的人输出 0176 这类带零答案。

考点：商的位数（E5）。

（E5）考点：商的位数——n 位除一位数得 n 位或 n-1 位。

解析：本题考查商的位数。逐位除生成与被除数同长的商数组，首位可能为零：首位够除商 $n$ 位、不够除去零后 $n-1$ 位。上界不超过被除数位数。

排除法：D 答 $n+1$ 的人高估了增长——除法只缩不放；C 答恰好 $n-1$ 的人把一种情形当成了全部；A 答无法确定的人没找对上下界。

考点：除数为零（E6）。

（E6）考点：除数为零——运算无意义，先检查。

解析：本题考查除数为零。除以零在数学上无定义，程序里 cur / 0 直接崩溃；负责任的代码在运算前检查除数非零并按题意输出错误标记。这一条与普通整数除法完全一致。

排除法：A 认为结果为 $0$ 的人发明了错误规则；D 认为程序自动处理的人把崩溃当成了处理；C 认为结果为被除数的人同样错了——除以零在数学上无定义。

考点：除法代码结构（E7）。

（E7）考点：除法代码结构——从高位到低位 r=r*10+a[i] 再除取商取余。

解析：本题考查除法代码结构。一行核心：r = r*10 + a[i]; q[i] = r / k; r = r % k; 循环从 len-1 递减到 $0$——方向与加减乘相反，是模板记忆的第一要点。

排除法：B 选从低位循环的人余数传递方向错误；A 选先取余再除的人把一步拆成了错序两步；D 选清零余数的人每步都丢历史。

考点：字符串读入（F1）。

（F1）考点：字符串读入——数百位数字只有字符串能原样接收。

解析：本题考查字符串读入。cin >> s 把整个数字当文本收下，长度即位数；随后逐字符转数字入数组。整数读入在第一关（溢出）就失败了。

排除法：B 选字符串更快的人速度差异无关紧要；D 选整数不能运算的人反了——整数恰恰是运算方，只是装不下；C 选题目强制的人没抓住技术必然。

考点：逆序转换（F2）。

（F2）考点：逆序转换——"345" 转为 {5,4,3}。

解析：本题考查逆序转换。a[i] = s[len-1-i] - '0'：字符串下标 $0$ 是最高位，数组下标 $0$ 要放个位——镜像翻转。转换写反是 P4 的错误源。

排除法：B 选 {3,4,5} 的人忘了翻转；C 选 {51,52,53} 的人忘了减 '0' 存了 ASCII 码；A 选 {5,45,345} 的人把「逐位」做成了「前缀」。

考点：输出倒序（F3）。

（F3）考点：输出倒序——从 len-1 打印到 0。

解析：本题考查输出倒序。数组 {5,4,3} 代表 $345$：下标大的是高位，输出循环从 len-1 递减。读入转换、存储方向、输出方向三处一致才不自相矛盾。

排除法：A 认为代表 $543$ 且正序打印的人方向理解反了；C 认为无法输出的人低估了一行倒序循环；D 选代表 $345$ 却正序打印的人——数认对了输出方向反了，会打出 $543$。

考点：字符转数字（F4）。

（F4）考点：字符转数字——'7' 减 '0' 得 7。

解析：本题考查字符转数字。数字字符的 ASCII 码连续：'7'-'0' 即 $55-48=7$。反过来数字加 '0' 得字符。这是 07 卷字符运算的老朋友在高精度的应用。

排除法：B 选 '7'-7 的人得 $48$ 是字符码；A 选 (int)'7' 的人得 $55$；C 选 '7'+'0' 的人得 $103$ 越走越远。

考点：输出去零（F5）。

（F5）考点：输出去零——while (len>1 && a[len-1]==0) len--。

解析：本题考查输出去零。两个条件缺一不可：len>1 保证数值零至少留一位；a[len-1]==0 从最高位定位可删之零。一行循环解决前导零。

排除法：B 选只有零判断的人可能把零删成空串；A 选 while(len>0) 的人把整个数删光；D 选不需要的人没见过减法输出 012 的惨案。

考点：阶乘大数（G1）。

（G1）考点：阶乘大数——25! 有 26 位。

解析：本题考查阶乘大数。$25!=15511210043330985984000000$ 共 $26$ 位——末尾一串零来自因子 $5$ 与 $2$ 配对。阶乘是高精度乘法（高×低循环）的第一应用（N2）。

排除法：D 答 $25$ 位的人少数了末尾零；B 答 $20$ 位的人低估；C 答 $18$ 位的人还以为 long long 装得下。

考点：组合数大数（G2）。

（G2）考点：组合数大数——C(30,15)=155117520 未超 int 但中间过程险。

解析：本题考查组合数大数。最终值约 $1.55\times10^8$ 在 int 内，但「逐项乘再除」的中间量轻易破 $10^{18}$——要么边乘边除用 long long，要么高精度兜底。「结果装得下」不等于「过程装得下」。

排除法：B 选必须高精度的人言过其实（本题 long long 够）；D 选超 long long 的人量级感错误；C 选等于 $30^{15}$ 的人把组合当成了幂。

考点：幂运算大数（G3）。

（G3）考点：幂运算大数——2^64 恰是 unsigned long long 上限加一。

解析：本题考查幂运算大数。$2^{64}=18446744073709551616$，恰比 unsigned long long 最大值大 $1$——著名的边界案例。再乘一个 $2$ 就必须高精度（N1 实测）。

排除法：A 选 long long 存得下的人差一个负号位；C 选高精度算不了幂的人把「重复乘」想复杂了；D 选它是 $64$ 位数的人把指数当成了位数——实际只有 $20$ 位。

考点：斐波那契大数（G4）。

（G4）考点：斐波那契大数——第 100 项是 21 位数。

解析：本题考查斐波那契大数。$f_{100}=354224848179261915075$ 共 $21$ 位。加法模板循环 $98$ 次即可——高精度加法的最经典循环应用（N3）。

排除法：B 答 $3542248481792619150$ 的人被溢出截断骗了，尾部数字已失真；C 答 $100$ 位的人把项数当成了位数；D 选无法计算的人低估了循环相加的力量。

考点：long long 的边界（G5）。

（G5）考点：long long 的边界——18 位警惕、19 位以上直接高精度。

解析：本题考查 long long 的边界。$2^{63}\approx9.2\times10^{18}$ 是 $19$ 位数：$18$ 位的输入在乘法里也会越界（两个 $10^{18}$ 相乘爆掉），所以「警惕线」要画在位数之外再看中间结果。

排除法：A 选位数无所谓的人否认了溢出的存在；B 认为 $100$ 位以内都安全的人对量级无概念——十九位就到极限；D 选 int 与 long long 相同的人差了一个数量级。

考点：忘进位（H1）。

（H1）考点：忘进位——876+345 会错成各位取余的 0111。

解析：本题考查忘进位。丢进位后每位只写 $s\bmod10$：$876+345$ 的各位和 $11,12,12$ 写成 $1,2,2$，输出 0111？逐位核（I5）：$6{+}5=11$ 写 $1$、$7{+}4=11$ 写 $1$、$8{+}3=11$ 写 $1$——丢进位输出 111，正确是 $1221$。

排除法：A 选没有影响的人没算过具体数；D 选崩溃的人把逻辑错当运行错；C 以为只偏小 $1$ 的人低估了破坏——丢失的进位让每一位都错。

考点：借位漏减（H2）。

（H2）考点：借位漏减——1000-1 高位没被借走错成 1999。

解析：本题考查借位漏减。写 s += 10 忘 borrow = 1：$1000-1$ 的个位 $0-1$ 加十得 $9$，但十位计算时不知道要再减一，$0-0=0$？逐位核：个位 $9$、十位 $0$、百位 $0$、千位 $1$——输出 1009 之类的错值（P2 展开）。

排除法：B 答 $999$ 的人描述的是正确行为；D 答 $0$ 的人全盘皆错；C 选死循环的人把逻辑错当成了卡死。

考点：前导零未去（H3）。

（H3）考点：前导零未去——100-88 输出 012。

解析：本题考查前导零未去。中间结果百位为 $0$，不去零直接输出三位：012。判题严格按字符串比较，多一个零就是全错。去零一行循环是模板收尾必备。

排除法：B 答 12 的人给的是正确输出口径；C 答 120 的人把零挪了位；D 答无法输出的人低估了程序的坦诚。

考点：数组开小（H4）。

（H4）考点：数组开小——500 位乘 500 位积数组至少 1000。

解析：本题考查数组开小。积的位数上界是两数位数和：$500+500=1000$，开 $1000$ 是下限、多开几格更稳（进位与压位余量）。开 $500$ 会在最高位越界写坏内存。

排除法：D 答 $500$ 的人把上界当成了长数位数；B 答 $501$ 的人套用了加法的 $n+1$；A 答 $256$ 的人连输入都装不下。

考点：全 9 加 1 执行（I1）。

（I1）考点：全 9 加 1 执行——999+1 得 1000。

解析：本题考查全 9 加 1 执行。逐位：$9{+}1$ 写 $0$ 进 $1$（三次），最终进位 $1$ 追加，输出 1000。位数从 $3$ 变 $4$，len 同步加一。

排除法：D 答 000 的人丢了最终进位；A 答 100 的人进位传到一半断了；C 答 990 的人只进了第一次位。

考点：基础加法执行（I2）。

（I2）考点：基础加法执行——123+456=579。

解析：本题考查基础加法执行。各位 $3{+}6=9$、$2{+}5=7$、$1{+}4=5$ 全程无进位，得 579。无进位情形验证「逐位独立」的基本面。

排除法：C 答 569 的人十位算错；A 答 5790 的人多补了个零；B 答 975 的人把两数当成了某种拼接。

考点：连续进位执行（I3）。

（I3）考点：连续进位执行——999999+1=1000000 共 7 位。

解析：本题考查连续进位执行。六次连锁进位后最终进位追加，1000000 共 $7$ 位。B6 的概念在代码上落地。

排除法：C 答 000000 共 $6$ 位的人丢最终进位；B 答 100000 共 $6$ 位的人连锁少传一级、少进一位；D 答 9999990 共 $7$ 位的人方向错乱。

考点：大数加法执行（I4）。

（I4）考点：大数加法执行——987654321+123456789=1111111110。

解析：本题考查大数加法执行。各位相加：$9{+}9{=}18$ 写 $8$ 进 $1$、$2{+}8{+}1{=}11$ 写 $1$ 进 $1$……逐级进位一路到首位，最终进位 $1$ 追加，得 1111111110（$10$ 位）。

排除法：C 答 111111111 的人丢最终进位；B 答 1111111101 的人某位进位断了；A 答 1011111111 的人进位位置错。

考点：逐位追踪（I5）。

（I5）考点：逐位追踪——876+345 各位 (和/写位/进位)。

解析：本题考查逐位追踪。个位 $6{+}5{=}11$ 写 $1$ 进 $1$；十位 $7{+}4{+}1{=}12$ 写 $2$ 进 $1$；百位 $8{+}3{+}1{=}12$ 写 $2$ 进 $1$；最终进位 $1$。结果 $1221$。

排除法：D 选各位直接写 $11,12,12$ 的人没做取余；A 选无进位的人没看到满十；B 选只有最高位进位的人漏了低位连锁。

考点：对称进位执行（I6）。

（I6）考点：对称进位执行——555+555=1110。

解析：本题考查对称进位执行。$5{+}5{=}10$ 写 $0$ 进 $1$（三次），最终进位 $1$，得 1110。对称数据让每位的进位行为完全一致。

排除法：D 答 1010 的人某位忘了加进位；B 答 0000 的人丢最终进位；A 答 1111 的人最高位算错。

考点：加法补全（I7）。

（I7）考点：加法补全——本位写 s % 10。

解析：本题考查加法补全。c[i] = s % 10 写和的个位，carry = s / 10 取十位——一行两句互为表里。填 s 会让两位数进数组。

排除法：B 填 s / 10 的人把进位写进了本位；C 填 s 的人没做拆分；A 填 carry 的人把上一轮进位原样写下。

考点：整千减一执行（J1）。

（J1）考点：整千减一执行——1000-1=999。

解析：本题考查整千减一执行。连锁借位：个位借得 $9$、十位借得 $9$、百位借得 $9$、千位被借走为 $0$，去零删千位，输出 999。

排除法：C 答 0999 的人没去前导零；D 答 1999 的人高位没被借走（P2）；A 答 1 的人输出成了被减数高位。

考点：基础减法执行（J2）。

（J2）考点：基础减法执行——523-345=178。

解析：本题考查基础减法执行。个位 $3{-}5$ 不够借十得 $8$；十位 $2{-}4{-}1$ 不够借十得 $7$；百位 $5{-}3{-}1=1$。得 178。

排除法：D 答 288 的人借位处理漏了高位多减；A 答 188 的人百位忘了被借；C 答 222 的人把各位绝对值相减。

考点：借位减法执行（J3）。

（J3）考点：借位减法执行——100-88=12。

解析：本题考查借位减法执行。个位 $0{-}8$ 借十得 $2$；十位 $0{-}8{-}1$ 借十得 $1$；百位 $1{-}0{-}1=0$，去零得 12。

排除法：C 答 012 的人没去前导零（H3）；A 答 22 的人十位借位算错；B 答 18 的人某位加减颠倒。

考点：接连位减法执行（J4）。

（J4）考点：接连位减法执行——500-499=1。

解析：本题考查接连位减法执行。个位 $0{-}9$ 借十得 $1$；十位 $0{-}9{-}1$ 借十得 $0$；百位 $5{-}4{-}1=0$，去零后只剩 1。

排除法：B 答 001 的人没去零；C 答 101 的人百位漏减借位；A 答 111 的人借位全丢。

考点：借位逐位追踪（J5）。

（J5）考点：借位逐位追踪——1000-1 各位差与借位。

解析：本题考查借位逐位追踪。个位 $0{-}1$ 不够借得 $9$；十位 $0{-}0{-}1$ 不够借得 $9$；百位同理得 $9$；千位 $1{-}0{-}1=0$ 不再借。三级连锁借位是减法的压力测试。

排除法：A 选只有个位借位的人没看连锁；D 选各位都写 $0$ 的人忘了借十；C 选千位不受影响的人漏了「多减一」。

考点：不等长减法执行（J6）。

（J6）考点：不等长减法执行——12345-678=11667。

解析：本题考查不等长减法执行。$678$ 的高位按 $0$ 参与：个位 $5{-}8$ 借得 $7$；十位 $4{-}7{-}1$ 借得 $6$；百位 $3{-}6{-}1$ 借得 $6$；千位万位照抄。得 11667。

排除法：A 答 11567 的人十位借位处理错；B 答 12333 的人减数没对齐数位；D 答 0667 的人把高位丢了。

考点：减法补全（J7）。

（J7）考点：减法补全——else 分支填 borrow = 0。

解析：本题考查减法补全。够减时必须把借位归零，否则上一步的 $1$ 错误地传到下一位。借位是「逐位重置」的变量，不是一借到底。

排除法：B 填 borrow = 1 的人让借位永久粘连；A 填 s = 0 的人把差值清零；D 填 break 的人直接中断运算。

考点：高乘低执行（K1）。

（K1）考点：高乘低执行——123×4=492。

解析：本题考查高乘低执行。个位 $3\times4{=}12$ 写 $2$ 进 $1$；十位 $2\times4{+}1{=}9$；百位 $1\times4{=}4$。得 492。

排除法：D 答 482 的人十位忘加进位；A 答 412 的人进位彻底没管；C 答 498 的人最高位算错。

考点：高乘低进位（K2）。

（K2）考点：高乘低进位——999×9=8991。

解析：本题考查高乘低进位。个位 $81$ 写 $1$ 进 $8$；十位 $81{+}8{=}89$ 写 $9$ 进 $8$；百位同；尾进位 $8$ 拆出。得 8991——进位大于 $9$ 的活例（D2）。

排除法：B 答 899 的人丢尾部进位；C 答 8981 的人某位进位加错；D 答 9981 的人进位方向错乱。

考点：高乘高执行（K3）。

（K3）考点：高乘高执行——999×99=98901。

解析：本题考查高乘高执行。错位累加 $999\times9$（三位循环）与 $999\times9$ 左移一位，合并进位得 98901。验算 $999\times99=98901$ ✓。

排除法：D 答 9890 的人少了一位；B 答 108900 的人错位错一格；A 答 99891 的人部分积对齐错。

考点：错位追踪（K4）。

（K4）考点：错位追踪——23×14 的部分积落位。

解析：本题考查错位追踪。乘数第 $0$ 位 $4$：$4\times3=12$ 写积第 $0$ 位进 $1$，$4\times2+1=9$ 落第 $1$ 位——部分积 $92$（即 $4\times23$）；乘数第 $1$ 位 $1$ 的部分积从积第 $1$ 位起。错位规则：第 $i$ 位起落。

排除法：B 选从最高位落的人方向反；C 选全落第 $0$ 位的人没做错位；A 选规则随位数变的人把规律玄学化。

考点：高乘高进阶（K5）。

（K5）考点：高乘高进阶——123×456=56088。

解析：本题考查高乘高进阶。三重部分积（$456\times3$、$456\times2$ 左移、$456\times1$ 再左移）错位累加，得 56088。位数 $3{+}3{=}6$ 上界、实得 $5$ 位。

排除法：D 答 5608 的人丢最高进位；B 答 57088 的人某部分积错位；A 答 456123 的人只做了拼接。

考点：积的位数（K6）。

（K6）考点：积的位数——9999×9999=99980001 共 8 位。

解析：本题考查积的位数。$4{+}4{=}8$ 恰为上界（最大四位数自乘满位）：积 99980001 正好 $8$ 位。对照 O2 的「$79$ 或 $80$」，这是「顶到上界」的实例。

排除法：C 答积是 99980001 却有 $9$ 位的人多数了一位；B 答 99990000 共 $8$ 位的人乘积算错——真实积是 99980001；D 答 100000000 共 $9$ 位的人把「差一点到 $10^8$」记成了「到了」，实际差 $1$。

考点：乘法补全（K7）。

（K7）考点：乘法补全——进位填 t / 10。

解析：本题考查乘法补全。内层每步 t = c[i+j] + b[i]*a[j] + carry：本位 t % 10、进位 t / 10。乘法进位不再限于 $1$（D2），但取商取余的形式不变。

排除法：B 填 t % 10 的人把本位值当进位；A 填 carry + 1 的人自创了进位规则；D 填 b[i] 的人把乘数当成了进位。

考点：除法执行（L1）。

（L1）考点：除法执行——1234÷7 商 176 余 2。

解析：本题考查除法执行。高位起：$1\div7$ 商 $0$ 余 $1$；$12\div7$ 商 $1$ 余 $5$；$53\div7$ 商 $7$ 余 $4$；$44\div7$ 商 $6$ 余 $2$。商 0176 去零得 176，余 $2$。

排除法：B 答余 $0$（且商 176）的人没做完最后一步——余数恰为 $2$；D 答商 167 余 $2$ 的人第三步商位算错；C 答商 $0$ 余 $1234$ 的人没理解逐位除、一步都没除下去。

考点：余数判断（L2）。

（L2）考点：余数判断——1000÷3 商 333 余 1。

解析：本题考查余数判断。$1\div3$ 商 $0$；$10\div3$ 商 $1$ 余 $1$；$10\div3$ 商 $1$ 余 $1$；$10\div3$ 商 $1$ 余 $1$。商 0111？逐位核：商 333 余 $1$ ✓（$1000=3\times333+1$）。