专题 03 组合计数 · 复习强化

壹

计数原理

6 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 1 题 A1 未作答

从甲地到乙地有 $3$ 班火车、 $2$ 班汽车，乘坐其中一班直达，不同的走法共有（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$5$

C

$3$

D

$2$

第 2 题 A2 未作答

衣柜里有 $4$ 件上衣、 $3$ 条裤子，各选一件搭配，不同的搭配共有（）种。

（2 分）

A

$7$

B

$4^3$

C

$12$

D

$9$

第 3 题 A3 未作答

从 $3$ 门选修课中选 $1$ 门，再从 $2$ 项体育活动中选 $1$ 项，共有多少种选法？这个问题应该用（）。

（2 分）

A

乘法原理之外的枚举法

B

加法原理，得 $5$ 种

C

加法原理，因为都是"选一个"

D

乘法原理，得 $6$ 种

第 4 题 A4 未作答

从 $3$ 名男生、 $2$ 名女生中选 $1$ 名男生和 $1$ 名女生参加活动，不同的选法共有（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$5$

C

$12$

D

$10$

第 5 题 A5 未作答

用分类加法计数时，对所分类别的要求是（）。

（2 分）

A

类别越多越好，可以重叠

B

类别数必须是 2

C

任何两类不能有重复（互斥），合起来不遗漏

D

每类都要包含全部情况

第 6 题 A6 未作答

$3$ 个不同的数 $1,2,3$ 排成一排，全排列共几种？枚举验证： $123,132,213,231,312,321$ ，共（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$27$

C

$9$

D

$3$

贰

排列

4 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 7 题 B1 未作答

$4$ 名同学排成一排照相，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$4$

B

$24$

C

$16$

D

$256$

第 8 题 B2 未作答

$0!$ 的值是（）。

（2 分）

A

$-1$

B

$0$

C

没有意义

D

$1$

第 9 题 B3 未作答

int 最大约 $2.1 \times 10^9$ 。下列阶乘中，第一个超出 int 范围的是（）。

（2 分）

A

$10!$

B

$8!$

C

$20!$

D

$13!$

第 10 题 B4 未作答

从 $a, b, c$ 中取 $2$ 个"排成一列"， $ab$ 和 $ba$ 算作（）。

（2 分）

A

同一种，因为元素相同

B

两种不同的排列，因为顺序不同

C

取决于题目约定

D

两种不同的组合

叁

组合

4 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 11 题 C1 未作答

$C(2026, 0)$ 和 $C(2026, 2026)$ 的值分别是（）。

（2 分）

A

$2026$ 和 $1$

B

都是 $0$

C

都是 $1$

D

$0$ 和 $2026$

第 12 题 C2 未作答

$C(3, 5)$ 的值是（）。

（2 分）

A

没有定义，会出错

B

$5$

C

$0$ （从 3 个元素中取不出 5 个）

D

$C(5, 3) = 10$

第 13 题 C3 未作答

$C(100, 1) + C(100, 99)$ 的值是（）。

（2 分）

A

$198$

B

$200$

C

$9900$

D

$100$

第 14 题 C4 未作答

$5$ 名同学每两人握一次手，共握手（）次。

（2 分）

A

$C(5, 2) = 10$

B

$5$

C

$A(5, 2) = 20$

D

$5^2 = 25$

肆

杨辉三角与递推

3 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 15 题 D1 未作答

组合数的递推式 $C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)$ 用 $C(4, 2)$ 验证： $C(3, 1) + C(3, 2) = (\quad)$ 。

（2 分）

A

$1 + 2 = 3$

B

$3 + 6 = 9$

C

$3 + 3 = 6$

D

$4 + 6 = 10$

第 16 题 D2 未作答

$C(3, 0) + C(3, 1) + C(3, 2) + C(3, 3)$ 的值是（）。

（2 分）

A

$6$

B

$3$

C

$8$

D

$12$

第 17 题 D3 未作答

上台阶每次可以上 $1$ 级或 $2$ 级，上 $4$ 级台阶的不同方法数是（）。

（2 分）

A

$8$

B

$4$

C

$6$

D

$5$

伍

排列组合技巧

9 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 18 题 E1 未作答

$3$ 对夫妻排成一排，要求每对夫妻都相邻，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$48$

B

$720$

C

$24$

D

$8$

第 19 题 E2 未作答

$4$ 个人排成一排，其中甲、乙两人不相邻，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$18$

B

$6$

C

$24$

D

$12$

第 20 题 E3 未作答

把 $10$ 个相同的苹果全部分给 $3$ 个人，每人至少分到 $1$ 个，不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$C(10, 3)$

B

$36$

C

$3^{10}$

D

$120$

第 21 题 E4 未作答

$5$ 个人排成一排，甲必须站在正中间的位置，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$48$

B

$24$

C

$120$

D

$5$

第 22 题 E5 未作答

字母 A A A B B 排成一列，不同的排列共有（）种。

（2 分）

A

$10$

B

$120$

C

$20$

D

$5$

第 23 题 E6 未作答

解决"若干人排队，要求某两人必须相邻"的问题，首选技巧是（）。

（2 分）

A

隔板法

B

插空法

C

间接法

D

捆绑法

第 24 题 E7 未作答

$5$ 名男生和 $3$ 名女生站成一排，规定 $3$ 名女生必须相邻。不同的排列方式共有（）种。

（2 分）

A

$5040$

B

$40320$

C

$720$

D

$4320$

第 25 题 E8 未作答

把 $10$ 个相同的苹果分给 $3$ 个人，允许有人分不到。不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$C(10, 3)$

B

$66$

C

$36$

D

$120$

第 26 题 E9 未作答

由数字 $1, 1, 2, 2, 3$ 这五个数字组成不同的三位数有（）个。

（2 分）

A

$24$

B

$12$

C

$18$

D

$60$

陆

综合计数

9 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 27 题 F1 未作答

$3$ 名男生和 $2$ 名女生排成一排，女生互不相邻，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$72$

B

$36$

C

$120$

D

$24$

第 28 题 F2 未作答

袋中有 $3$ 个红球、 $2$ 个蓝球（每个球互不相同），任取 $3$ 个球，至少有 $1$ 个蓝球的取法共（）种。

（2 分）

A

$9$

B

$6$

C

$1$

D

$10$

第 29 题 F3 未作答

用数字 $0, 1, 2, 3$ 组成没有重复数字的两位数，共能组成（）个。

（2 分）

A

$3$

B

$9$

C

$12$

D

$16$

第 30 题 F4 未作答

在 $3 \times 3$ 的方格网中，从左下角走到右上角，每步只能向右或向上走一格，不同的路径共有（）条。

（2 分）

A

$9$

B

$20$

C

$2^6$

D

$6$

第 31 题 F5 未作答

$4$ 名同学平均分成 $2$ 组（每组 $2$ 人，两组不分先后），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$3$

B

$12$

C

$6$

D

$4$

第 32 题 F6 未作答

阅读下面的程序：

01int C[10][10];
02int main() {
03    for (int i = 0; i <= 9; i++) {
04        C[i][0] = 1;
05        for (int j = 1; j <= i; j++)
06            C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
07    }
08    cout << C[6][3];
09    return 0;
10}

程序的输出是（）。

（2 分）

A

6

B

120

C

10

D

20

第 33 题 F7 未作答

$6$ 个人， $2$ 个人组一队，总共组成 $3$ 队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（）种。

（2 分）

A

$30$

B

$90$

C

$5$

D

$15$

第 34 题 F8 未作答

一个 $8 \times 8$ 的棋盘，左上角坐标为 $(1,1)$ 。机器人从 $(1,1)$ 出发，每次只能向右或向下走一格。要到达 $(4,5)$ ，不同的路径有（）条。

（2 分）

A

$21$

B

$56$

C

$35$

D

$7$

第 35 题 F9 未作答

$4$ 名男生和 $4$ 名女生站成一排，要求男女交替排列。不同的排列方式共有（）种。

（2 分）

A

$40320$

B

$288$

C

$576$

D

$1152$

柒

易错

4 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 36 题 G1 未作答

int 最大约 $2.1 \times 10^9$ 。下面的程序：

01int a = 20 * 19;        // A(20, 2)
02int b = 1;
03for (int i = 1; i <= 20; i++)
04    b = b * i;          // 20!

关于 a 和 b 的结果，下列说法正确的是（）。

（2 分）

A

a 和 b 都正确

B

a 溢出，b 正确

C

a 和 b 都溢出

D

a 正确（380），b 溢出

第 37 题 G2 未作答

计算 $C(4, 5)$ 时，正确的结果是（）。

（2 分）

A

$0$

B

$5$

C

$A(4, 5) / 5!$

D

$4$

第 38 题 G3 未作答

统计"从 $1$ 到 $20$ 中是 $2$ 的倍数或 $3$ 的倍数的数的个数"： $2$ 的倍数有 $10$ 个， $3$ 的倍数有 $6$ 个，正确答案是（）个。

（2 分）

A

$20$

B

$12$

C

$13$

D

$16$ （直接相加）

第 39 题 G4 未作答

不写公式，直接枚举验证 $C(4, 2)$ ：从 $\{1,2,3,4\}$ 中取 $2$ 个，全部取法是 $12, 13, 14, 23, 24, 34$ ，共（）种。

（2 分）

A

$4$

B

$12$

C

$6$

D

$24$

捌

真题考法

7 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 40 题 H1 未作答

一副扑克牌有 $4$ 种花色。任意抽出 $5$ 张牌，根据鸽巢原理，至少有（）张牌花色相同。

（2 分）

A

$2$

B

$3$

C

$1$

D

$4$

第 41 题 H2 未作答

把 $5$ 个相同的球放进 $3$ 个相同的袋子（允许有空袋），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$7$

C

$10$

D

$5$

第 42 题 H3 未作答

数字 $0,1,8$ 颠倒后还是自己， $6$ 和 $9$ 颠倒后互换。问：在两位数中，"颠倒后仍是合法两位数"的数共有（）个。

（2 分）

A

$16$

B

$8$

C

$5$

D

$4$

第 43 题 H4 未作答

有 $3$ 副不同的手套（ $6$ 只）。从中任取 $4$ 只，恰好配成 $1$ 副（另外 $2$ 只各来自不同的副）的取法共有（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$12$

C

$18$

D

$24$

第 44 题 H5 未作答

字符串 abab 的所有内容互不相同的子串共有（）个。

（2 分）

A

$8$

B

$7$

C

$9$

D

$10$

第 45 题 H6 未作答

$5$ 个连续的位置，选若干个做标记，要求任意两个被标记的位置之间至少隔 $1$ 个位置（不相邻）。不同的选法共有（）种。

（2 分）

A

$12$

B

$7$

C

$10$

D

$15$

第 46 题 H7 未作答

从 $3$ 名男生和 $2$ 名女生中选出 $3$ 人，要求男生和女生都要有，不同的选法共有（）种。

（2 分）

A

$7$

B

$6$

C

$9$

D

$10$

玖

球盒模型

8 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 47 题 I1 未作答

把 $4$ 封不同的信投入 $3$ 个不同的邮筒（允许邮筒空着），不同的投法共有（）种。

（2 分）

A

$81$

B

$12$

C

$27$

D

$64$

第 48 题 I2 未作答

把 $4$ 封不同的信投入 $3$ 个不同的邮筒，要求每个邮筒至少有 $1$ 封信，不同的投法共有（）种。

（2 分）

A

$24$

B

$36$

C

$81$

D

$12$

第 49 题 I3 未作答

把 $12$ 个相同的苹果分给 $4$ 个人（允许有人分不到），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$12^4$

B

$4^{12}$

C

$455$

D

$165$

第 50 题 I4 未作答

把 $12$ 个相同的苹果分给 $4$ 个人，要求每人至少分到 $1$ 个，不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$12^4$

B

$455$

C

$C(12, 4)$

D

$165$

第 51 题 I5 未作答

把 $6$ 个相同的球放进 $3$ 个相同的盒子（允许有空盒），不同的放法共有（）种。

（2 分）

A

$C(8, 2) = 28$

B

$7$

C

$8$

D

$6$

第 52 题 I6 未作答

把 $7$ 个相同的球放进 $3$ 个相同的盒子（不允许有空盒），不同的放法共有（）种。

（2 分）

A

$5$

B

$7$

C

$C(6, 2) = 15$

D

$4$

第 53 题 I7 未作答

把 $4$ 个不同的小球放进 $2$ 个相同的盒子（允许有空盒），不同的放法共有（）种。

（2 分）

A

$8$

B

$14$

C

$16$

D

$7$

第 54 题 I8 未作答

问题"把 $10$ 个相同的名额分给 $3$ 个班级"（允许有班级没有名额）属于哪种球盒模型？

（2 分）

A

球同盒同

B

球同盒异

C

球异盒异

D

球异盒同

拾

分组分配进阶

8 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 55 题 J1 未作答

$8$ 个人分成 $3$ 组，人数分别为 $4, 2, 2$ （组不分编号），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$C(8,4) C(4,2) = 420$

B

$1260$

C

$210$

D

$420$

第 56 题 J2 未作答

$8$ 个人分成人数为 $4, 2, 2$ 的 $3$ 组，再分到 $3$ 个不同的岗位，不同的安排共有（）种。

（2 分）

A

$1260$

B

$70$

C

$420$

D

$210$

第 57 题 J3 未作答

$7$ 个人分成 $3$ 组，人数分别为 $3, 2, 2$ （组不分编号），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$105$

B

$35$

C

$210$

D

$70$

第 58 题 J4 未作答

$6$ 本不同的书分给 $3$ 个人，每人 $2$ 本，不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$540$

B

$90$

C

$15$

D

$720$

第 59 题 J5 未作答

$6$ 本不同的书分成 $3$ 堆，各堆本数分别为 $1, 2, 3$ （堆不分编号），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$120$

C

$60$

D

$360$

第 60 题 J6 未作答

$7$ 个人分成 $3$ 组，人数分别为 $1, 3, 3$ （组不分编号），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$140$

B

$210$

C

$35$

D

$70$

第 61 题 J7 未作答

$9$ 个人分成 $3$ 组，人数分别为 $2, 3, 4$ （组不分编号），不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$1260$

B

$630$

C

$2520$

D

$210$

第 62 题 J8 未作答

$5$ 个人分配 $5$ 个不同的岗位，甲不能站第一个岗位，不同的安排共有（）种。

（2 分）

A

$24$

B

$96$

C

$120$

D

$100$

拾壹

隔板法与变式

7 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 63 题 K1 未作答

把 $10$ 个相同的苹果分给 $3$ 个人，每人至少分到 $2$ 个，不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$66$

B

$C(9, 2) = 36$

C

$15$

D

$10$

第 64 题 K2 未作答

把 $10$ 个相同的苹果分给 $3$ 个人，每人最多分到 $5$ 个，不同的分法共有（）种。（允许有人分到 0 个）

（2 分）

A

$21$

B

$60$

C

$15$

D

$66$

第 65 题 K3 未作答

把 $10$ 个相同的苹果分给 $3$ 个人（每人至少 $0$ 个），每人至多 $4$ 个，不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$30$

C

$66$

D

$36$

第 66 题 K4 未作答

不定方程 $x + y + z = 10$ 的正整数解的个数是（）。

（2 分）

A

$C(10, 2)$

B

$36$

C

$66$

D

$10$

第 67 题 K5 未作答

不定方程 $x + y + z = 10$ 的非负整数解的个数是（）。

（2 分）

A

$C(10, 2)$

B

$45$

C

$36$

D

$66$

第 68 题 K6 未作答

把 $9$ 个相同的球分给甲、乙、丙三人，要求甲至少 $3$ 个、乙至少 $2$ 个、丙至少 $1$ 个，不同的分法共有（）种。

（2 分）

A

$10$

B

$6$

C

$C(9, 2) = 36$

D

$C(8, 2) = 28$

第 69 题 K7 未作答

$10$ 个相同的小球放进编号为 $1\sim4$ 的四个盒子，要求 $1$ 号盒至少 $2$ 个、其余盒至少 $1$ 个，不同的放法共有（）种。

（2 分）

A

$C(10, 3) = 120$

B

$35$

C

$C(9, 3) = 84$

D

$56$

拾贰

定序与数字进阶

7 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 70 题 L1 未作答

$7$ 个人排成一排，其中甲、乙、丙三人的相对顺序保持"甲在乙前、乙在丙前"不变，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$7!$

B

$7!/2$

C

$7!/3! = 840$

D

$4!$

第 71 题 L2 未作答

用数字 $0, 1, 2, 3, 4$ 组成没有重复数字的三位偶数，共能组成（）个。

（2 分）

A

$48$

B

$36$

C

$30$

D

$24$

第 72 题 L3 未作答

用数字 $0, 1, 2, 3, 4$ 组成没有重复数字的三位奇数，共能组成（）个。

（2 分）

A

$18$

B

$12$

C

$30$

D

$36$

第 73 题 L4 未作答

用数字 $0, 1, 2, 3, 4$ 组成没有重复数字的三位数，其中能被 $5$ 整除的有（）个。

（2 分）

A

$30$

B

$12$

C

$21$

D

$24$

第 74 题 L5 未作答

用数字 $1, 2, 3, 4$ 组成没有重复数字的四位数，其中比 $3200$ 大的有（）个。

（2 分）

A

$6$

B

$10$

C

$24$

D

$12$

第 75 题 L6 未作答

$6$ 本不同的书排成一排，其中两本数学书相邻、一本语文书在它们左边，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$240$

B

$720$

C

$96$

D

$24$

第 76 题 L7 未作答

用数字 $0, 1, 2, 3$ 组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数是（）。

（2 分）

A

$6$

B

$18$

C

$8$

D

$12$

拾叁

圆排列与错排

6 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 77 题 M1 未作答

$5$ 个人围着一张圆桌坐下，不同的坐法共有（）种（旋转后相同的算一种）。

（2 分）

A

$5$

B

$24$

C

$120$

D

$48$

第 78 题 M2 未作答

$4$ 名男生和 $4$ 名女生围圆桌就坐，要求男女交替，不同的坐法共有（）种。

（2 分）

A

$4! \times 4!$

B

$2 \times 4! \times 4!$

C

$7!$

D

$3! \times 4! = 144$

第 79 题 M3 未作答

$4$ 封信分别写好 $4$ 个信封，全部装错信封的不同装法共有（）种。

（2 分）

A

$12$

B

$4! = 24$

C

$9$

D

$4$

第 80 题 M4 未作答

$5$ 个人各拿一顶帽子，交换后每个人拿到的都不是自己的帽子，不同的拿法共有（）种。

（2 分）

A

$44$

B

$120$

C

$24$

D

$60$

第 81 题 M5 未作答

错排数满足 $D(n) = (n-1)(D(n-1) + D(n-2))$ 。已知 $D(1) = 0$ 、 $D(2) = 1$ ，则 $D(4)$ 的值是（）。

（2 分）

A

$8$

B

$44$

C

$9$

D

$10$

第 82 题 M6 未作答

$5$ 个球放入 $5$ 个编号盒子，恰好有 $2$ 个球放对了位置，不同的放法共有（）种。

（2 分）

A

$30$

B

$20$

C

$44$

D

$10$

拾肆

二项式定理

6 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 83 题 N1 未作答

$(a + b)^{10}$ 展开后共有（）项。

（2 分）

A

$2^{10}$

B

$9$

C

$11$

D

$10$

第 84 题 N2 未作答

$(x + 1)^8$ 的展开式中，中间项（第 $5$ 项）的系数是（）。

（2 分）

A

$28$

B

$56$

C

$35$

D

$70$

第 85 题 N3 未作答

$(x + \frac{1}{x})^8$ 的展开式中的常数项是（）。

（2 分）

A

$70$

B

$1$

C

$56$

D

$28$

第 86 题 N4 未作答

$(1 + x)^7$ 的展开式中，系数最大的项的系数是（）。

（2 分）

A

$21$

B

$35$

C

$70$

D

$28$

第 87 题 N5 未作答

$C(6, 0) - C(6, 1) + C(6, 2) - C(6, 3) + C(6, 4) - C(6, 5) + C(6, 6)$ 的值是（）。

（2 分）

A

$64$

B

$32$

C

$0$

D

$1$

第 88 题 N6 未作答

$(2x + 1)^4$ 的展开式中 $x^2$ 项的系数是（）。

（2 分）

A

$6$

B

$12$

C

$4$

D

$24$

拾伍

递推与染色

6 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 89 题 O1 未作答

甲、乙、丙三人传球，从甲开始，传 $3$ 次后球回到甲手中，不同的传球方式共有（）种。

（2 分）

A

$6$

B

$8$

C

$2$

D

$4$

第 90 题 O2 未作答

用 $4$ 种颜色给一条直线上的 $3$ 个格子染色，相邻格子颜色不同，不同的染法共有（）种。

（2 分）

A

$12$

B

$24$

C

$36$

D

$4^3 = 64$

第 91 题 O3 未作答

用 $4$ 种颜色给一个圆环的 $3$ 段弧染色（旋转视为相同），相邻弧颜色不同，不同的染法共有（）种。

（2 分）

A

$24$

B

$36$

C

$12$

D

$8$

第 92 题 O4 未作答

上楼梯每次可以上 $1$ 级、 $2$ 级或 $3$ 级，上到第 $5$ 级的不同方法数是（）。

（2 分）

A

$5$

B

$13$

C

$16$

D

$8$

第 93 题 O5 未作答

汉诺塔移动次数满足 $h(n) = 2h(n-1) + 1$ ， $h(1) = 1$ 。 $h(4)$ 的值是（）。

（2 分）

A

$16$

B

$15$

C

$8$

D

$31$

第 94 题 O6 未作答

一只青蛙跳台阶，每次跳 $1$ 级或 $2$ 级，跳上 $6$ 级台阶共有（）种方法。

（2 分）

A

$8$

B

$21$

C

$5$

D

$13$

拾陆

综合难题

6 QUESTIONS · 2 POINTS EACH

第 95 题 P1 未作答

从 $4$ 个男生、 $3$ 个女生中选 $4$ 人，要求至少 $2$ 个男生，不同的选法共有（）种。

（2 分）

A

$13$

B

$31$

C

$35$

D

$22$

第 96 题 P2 未作答

$6$ 把椅子排成一排， $3$ 个人就坐，要求任意两人不相邻，不同的坐法共有（）种。

（2 分）

A

$24$

B

$60$

C

$120$

D

$36$

第 97 题 P3 未作答

$8$ 支球队进行单循环赛（每两队比赛一场），共需要进行（）场比赛。

（2 分）

A

$8!$

B

$56$

C

$28 \times 2$

D

$28$

第 98 题 P4 未作答

从 $1$ 到 $10$ 中任取两个不同的数，和为奇数的取法共有（）种。

（2 分）

A

$45$

B

$5$

C

$25$

D

$20$

第 99 题 P5 未作答

$2$ 名男生和 $5$ 名女生排成一排，要求男生互不相邻，不同的排法共有（）种。

（2 分）

A

$240$

B

$7! = 5040$

C

$2400$

D

$3600$

第 100 题 P6 未作答

三边长均为整数且互不相等的三角形，周长为 $12$ ，这样的三角形共有（）个。

（2 分）

A

$1$

B

$2$

C

$4$

D

$3$

玖

真题演练

15 QUESTIONS · 真题演练不计分

第 1 题单选未作答

把 $8$ 个同样的球放在 $5$ 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？（）

提示：如果 $8$ 个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。

（0 分）

A

$24$

B

$18$

C

$20$

D

$22$

CSP-J 2019 · 单选第7题｜知识点递推计数、计数综合

第 2 题单选未作答

一副纸牌除掉大小王有 $52$ 张牌，四种花色，每种花色 $13$ 张。假设从这 $52$ 张牌中随机抽取 $13$ 张纸牌，则至少（）张牌的花色一致。

（0 分）

A

$4$

B

$2$

C

$5$

D

$3$

CSP-J 2019 · 单选第12题｜知识点鸽巢原理、初等代数

第 3 题单选未作答

一些数字可以颠倒过来看，例如 $0$ 、 $1$ 、 $8$ 颠倒过来还是本身， $6$ 颠倒过来是 $9$ ， $9$ 颠倒过来还是 $6$ ，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似地，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 $106$ 颠倒过来是 $901$ 。假设某个城市的车牌只由 $5$ 位数字组成，每一位都可以取 $0$ 到 $9$ 。请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（）

（0 分）

A

$60$

B

$125$

C

$100$

D

$75$

CSP-J 2019 · 单选第13题｜知识点乘法原理、加法原理

第 4 题单选未作答

$5$ 个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有（）种不同排列方法。

（0 分）

A

$48$

B

$36$

C

$24$

D

$72$

CSP-J 2020 · 单选第10题｜知识点捆绑法、排列

第 5 题单选未作答

$10$ 个三好学生名额分配到 $7$ 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（）种不同的分配方案。

（0 分）

A

$84$

B

$72$

C

$56$

D

$504$

CSP-J 2020 · 单选第14题｜知识点隔板法、组合

第 6 题单选未作答

有五副不同颜色的手套（共 $10$ 只手套，每副手套左右手各 $1$ 只），一次性从中取 $6$ 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（）种。

（0 分）

A

$120$

B

$180$

C

$150$

D

$30$

CSP-J 2020 · 单选第15题｜知识点组合、乘法原理、加法原理

第 7 题单选未作答

$6$ 个人， $2$ 个人组一队，总共组成 $3$ 队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（）种。

（0 分）

A

$10$

B

$15$

C

$30$

D

$20$

CSP-J 2021 · 单选第10题｜知识点平均分组、组合

第 8 题单选未作答

由 $1$ ， $1$ ， $2$ ， $2$ ， $3$ 这五个数字组成不同的三位数有（）种。

（0 分）

A

$18$

B

$15$

C

$12$

D

$24$

CSP-J 2021 · 单选第12题｜知识点多重集排列、加法原理

第 9 题单选未作答

一个字符串中任意个连续的字符组成的子序列称为该字符串的子串，则字符串 abcab 有（）个内容互不相同的子串。

（0 分）

A

$12$

B

$13$

C

$14$

D

$15$

CSP-J 2022 · 单选第14题｜知识点加法原理、乘法原理

第 10 题单选未作答

小明在某一天中依次有七个空闲时间段，他想要选出至少一个空闲时间段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个空闲的时间段让他休息。则小明一共有（）种选择时间段的方案。

（0 分）

A

$31$

B

$18$

C

$21$

D

$33$

CSP-J 2023 · 单选第6题｜知识点组合、加法原理

第 11 题单选未作答

一个班级有 10 个男生和 12 个女生。如果要选出一个 3 人的小组，并且小组中必须至少包含 1 个女生，那么有多少种可能的组合？（）

（0 分）

A

$1420$

B

$1770$

C

$1540$

D

$2200$

CSP-J 2023 · 单选第14题｜知识点组合、容斥原理

第 12 题单选未作答

某公司有 10 名员工，分为 3 个部门：A 部门有 4 名员工、B 部门有 3 名员工、C 部门有 3 名员工。现需要从这 10 名员工中选出 4 名组成一个工作小组，且每个部门至少要有 1 人。问有多少种选择方式?（）

（0 分）

A

$120$

B

$126$

C

$132$

D

$238$

CSP-J 2024 · 单选第3题｜知识点杨辉三角、威尔逊定理

第 13 题单选未作答

有 $5$ 个男生和 $3$ 个女生站成一排，规定 $3$ 个女生必须相邻。问有多少种不同的排列方式？（）

（0 分）

A

$4320$ 种

B

$5040$ 种

C

$3600$ 种

D

$2880$ 种

CSP-J 2024 · 单选第14题｜知识点排列、插空法

第 14 题单选未作答

从 $5$ 位男生和 $4$ 位女生中选出 $4$ 人组成一个学习小组，要求学习小组中男生和女生都有。有多少种不同的选举方法？（）

（0 分）

A

$126$

B

$121$

C

$120$

D

$100$

CSP-J 2025 · 单选第6题｜知识点排列、威尔逊定理

第 15 题单选未作答

一个 $8 \times 8$ 的棋盘，左上角坐标为 $(1,1)$ ，右下角为 $(8,8)$ 。一个机器人从 $(1,1)$ 出发，每次只能向右或向下走一格。要到达 $(4,5)$ ，有多少种不同的路径？（）

（0 分）

A

$20$

B

$35$

C

$56$

D

$70$

CSP-J 2025 · 单选第11题｜知识点排列、可重组合

重置作答

专题 03 组合计数 · 复习强化

判 分 报 告

计数原理

排列

组合

杨辉三角与递推

排列组合技巧

综合计数

易错

真题考法

球盒模型

分组分配进阶

隔板法与变式

定序与数字进阶

圆排列与错排

二项式定理

递推与染色

综合难题

真 题 演 练

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判分报告

真题演练