从甲地到乙地有 班火车、 班汽车，乘坐其中一班直达，不同的走法共有（ ）种。
考点：加法原理（A1）。
（A1）考点：加法原理——完成一件事有几类互斥的办法，总数 = 各类办法数相加。
解析：火车 3 班、汽车 2 班，任选一班即可到达，两类互斥： 种。
排除法：选 的人把两类相乘（混淆乘法原理）；选 的人只算了火车一类；选 的人只算了汽车一类。
衣柜里有 件上衣、 条裤子，各选一件搭配，不同的搭配共有（ ）种。
考点：乘法原理（A2）。
（A2）考点：乘法原理——完成一件事要依次经过几步，总数 = 各步办法数相乘。
解析：选上衣 4 种、选裤子 3 种，两步缺一不可： 种。
排除法：选 的人把两步相加（混淆加法原理）；选 的人把幂的方向弄反；选 的人是 的幂形式混淆。
从 门选修课中选 门，再从 项体育活动中选 项，共有多少种选法？这个问题应该用（ ）。
考点：分类与分步的区分（A3）。
（A3）考点：分类用加法、分步用乘法——两件事都要做（选课和选活动）是分步，用乘法。
解析：选一门课（3 种）和选一项活动（2 种）是两个独立步骤，都要完成： 种。
排除法：选"乘法原理之外的枚举法"的人方法判断错；选"加法原理因为都是选一个"的人把分步误判成了分类；选"加法原理得 种"的人用 把两步相加——分步应相乘得 。
从 名男生、 名女生中选 名男生和 名女生参加活动，不同的选法共有（ ）种。
考点：加乘混合（A4）。
（A4）考点：分步相乘——选 1 男和 1 女是两步：。
解析：男生 3 选 1 有 3 种，女生 2 选 1 有 2 种，两步组合： 种。
排除法：选 的人只选 1 人不分性别；选 的人把两步各自又当排列算；选 的人用了 （选 2 人不限性别）。
用分类加法计数时，对所分类别的要求是（ ）。
考点：分类必须互斥（A5）。
（A5）考点：分类加法计数要求各类互斥（不重）且不漏。
解析：若两类有重叠，重叠的方案会被数两次，结果偏大；漏了某类则结果偏小。
排除法：选"类别越多越好可以重叠"的人忽略了重复计数；选"类别数必须是 2"的人把二分当成了硬性要求；选"每类都要包含全部情况"的人混淆了"类"与"全集"。
个不同的数排成一排。不列出来，直接用乘法原理算：第一位 种选法、第二位剩 种、第三位剩 种。全排列共（ ）种。
考点：枚举验证（A6）。
（A6）考点：小数据枚举验证是核对计数结果的好习惯——3 个数的全排列逐个写出恰好 6 种，印证 。
解析： 的全排列按字典序：123、132、213、231、312、321，共 种。
排除法：选 的人算成了 的可重复排列；选 的人是 的混淆；选 的人只数了以 1 开头的。
名同学排成一排照相，不同的排法共有（ ）种。
考点：全排列（B1）。
（B1）考点： 个元素的全排列数是 —— 人排队 。
解析：第 1 个位置 4 种、第 2 个 3 种、第 3 个 2 种、第 4 个 1 种：。
排除法：选 的人只数了元素个数；选 的人是 ；选 的人是 的可重复排列。
的值是（ ）。
考点：0 的阶乘（B2）。
（B2）考点：约定 （空积为 1）——这是 成立的前提。
解析：数学上规定 ，就像"空集合的子集恰好 1 个"。
排除法：选 的人无依据；选 的人是" 任何数 "的错误直觉；选"没有意义"的人不知道这是约定。
int 类型的上限约为 。从 开始逐项递推（），第一个超出 int 上限的阶乘是（ ）。
规则：阶乘用递推估算：，从 开始逐项乘，每乘一次就与 比一次。
考点：阶乘的增长与溢出（B3）。
解析：逐项递推：；；（约 ）；（约 ）；（约 ，仍在 int 内）；（约 ，超过 ）——第一个超出的是 。
易错：一是别跳步，逐项乘并随时与上限比较；二是 约 还在 int 内，不要凭「感觉很大」提前下结论。
排除法：、 远未超出； 确实超出但不是「第一个」。
从 中取 个"排成一列"， 和 算作（ ）。
考点：排列有序（B4）。
（B4）考点：排列有序—— 与 元素相同但顺序不同，是两种不同排列。
解析：排列的定义是"排成一列"，位置不同即不同；不问顺序时才用组合。
排除法：选"同一种因为元素相同"的人忽略了顺序；选"取决于题目约定"的人不知道有序性是定义；选"两种不同的组合"的人用词错（顺序不同的两个对应同一个组合）。
和 的值分别是（ ）。
考点：组合数边界值（C1）。
（C1）考点：——"一个都不选"和"全选"都只有一种方式。
解析： 再大，选 0 个的方案也只有一种（空集），选全部也只有一种。
排除法：选" 和 "、" 和 "的人把边界值当成了 或 0；选"都是 "的人与事实相反。
的值是（ ）。
考点：k 大于 n 的组合数（C2）。
（C2）考点： 时 ——从 3 个元素中取不出 5 个。
解析：取不到的方案数为 0（这是定义的一部分，不是错误）。
排除法：选"没有定义会出错"的人不知道值为 0 也是合法定义；选 的人无依据；选 的人把对称性反着用到了 。
的值是（ ）。
考点：C(n,1) 与 C(n,n-1)（C3）。
（C3）考点：——选 1 个（或淘汰 1 个）都恰有 种。
解析：，，相加 。
排除法：选 的人是 的错算；选 的人用了 ；选 的人只算了一项。
名同学每两人握一次手，共握手（ ）次。
考点：组合无序（C4）。
（C4）考点：组合无序——两人握手不分先后： 次。
解析：甲握乙与乙握甲是同一次握手，用组合不用排列。
排除法：选 的人无依据；选 的人把"甲乙"和"乙甲"当两次；选 的人是重复计数。
组合数的递推式 用 验证：。
考点：杨辉递推式（D1）。
（D1）考点：——验证 。
解析：考虑某个特定元素："选它"对应 ，"不选它"对应 ，两类互斥相加。
排除法：选 的人配错了行；选 的人数值对不上任何一对；选 的人是 与另一行的混淆。
的值是（ ）。
考点：二项式和等于 2 的 n 次方（D2）。
（D2）考点：——杨辉三角每行的数加起来是 2 的幂。
解析：，也等于 3 元素集合的子集数。
排除法：选 的人是 ；选 的人只取了 ；选 的人是 量级的混淆。
上台阶每次可以上 级或 级，上 级台阶的不同方法数是（ ）。
考点：递推计数（D3）。
（D3）考点：到达第 级的最后一步来自第 或 级——（斐波那契型计数）。
解析：。
排除法：选 的人把初值记成了 ；选 的人只算了"全部上 1 级"的思路；选 的人多数了一级。
对夫妻排成一排，要求每对夫妻都相邻，不同的排法共有（ ）种。
考点：捆绑法（E1）。
（E1）考点：相邻问题用捆绑法——每对夫妻捆成一个整体：。
解析：每对内部 种、3 个整体排列 种：。
排除法：选 的人忘了相邻约束（全排列 ）；选 的人是 （少了内部交换）；选 的人只算了内部交换 。
个人排成一排，其中甲、乙两人不相邻，不同的排法共有（ ）种。
考点：插空法（E2）。
（E2）考点：不相邻问题用插空法（或间接法）——。
解析：间接法：全排 ，甲乙相邻（捆绑），不相邻 。
排除法：选 的人是 （捆绑时忘了内部交换的 2 倍）；选 的人少算了一半；选 的人是全排列（忘了约束）。
把 个相同的苹果全部分给 个人，每人至少分到 个，不同的分法共有（ ）种。
考点：隔板法（E3）。
（E3）考点： 个相同物品分给 人每人至少 1 个 = ——。
解析：10 个苹果排成一排有 9 个间隙，插 2 块板分成 3 段（每段非空）：。
排除法：选 的人板位置选错（间隙只有 9 个且只需 2 块板）；选 的人把苹果当成了不同的；选 的人无依据。
个人排成一排，甲必须站在正中间的位置，不同的排法共有（ ）种。
考点：特殊元素优先（E4）。
（E4）考点：特殊位置/元素先安排——甲固定中间，其余 4 人随便排：。
解析：中间位置被甲占死，剩 4 个位置全排列 。
排除法：选 的人混淆了捆绑法；选 的人是无约束全排列；选 的人只算了位置数。
字母 A A A B B 排成一列，不同的排列共有（ ）种。
考点：有重复元素的排列（E5）。
（E5）考点：重复元素排列 = ——。
解析：先当作 5 个不同字母排（120 种），再除以 3 个 A 的互换（）和 2 个 B 的互换（）。
排除法：选 的人忘了除重复度；选 的人是 ；选 的人只数了元素种类数。
解决"若干人排队，要求某两人必须相邻"的问题，首选技巧是（ ）。
考点：技巧的识别（E6）。
（E6）考点：相邻 → 捆绑法；不相邻 → 插空法；相同物品分配 → 隔板法。
解析："必须相邻"把若干元素看作一个整体，是捆绑法的标志情境。
排除法：选隔板法的人对付的是"相同物品分组"；选插空法的人对付的是"不相邻"；选间接法的人那是"正面难算从反面算"的通用策略。
把 个相同的苹果分给 个人，允许有人分不到。不同的分法共有（ ）种。
考点：隔板法允许空（E8）。
（E8）考点：允许空袋的隔板变式 = ——10 个苹果 3 人允许有人分不到：。
解析：允许空时"每人先借 1 个"变成至少 1：13 个苹果分 3 人至少 1 = 。
排除法：选 的人板位置思路错；选 的人用的是"至少 1"版公式；选 的人无依据。
名男生和 名女生排成一排，女生互不相邻，不同的排法共有（ ）种。
考点：排队问题综合（F1）。
（F1）考点：不相邻综合——先排男生 ，4 个空位插 2 名女生 ：。
解析：男生先排（）形成 4 个空（含两端），女生选空插入并排序（）。
排除法：选 的人是 （女生插空忘了排序）；选 的人是全排列；选 的人只算了男生。
袋中有 个红球、 个蓝球（每个球互不相同），任取 个球，至少有 个蓝球的取法共（ ）种。
考点：至少问题间接法（F2）。
（F2）考点："至少 1 个蓝"用间接法：全部减去"没有蓝"：。
解析：全取 3 球 ；"没有蓝"= 全从红球取 ；至少 1 蓝 。
排除法：选 的人是分类相乘的错法；选 的人只算了全红；选 的人忘了减全红那 1 种。
用数字 组成没有重复数字的两位数，共能组成（ ）个。
考点：数字组成问题（F3）。
（F3）考点：组数字注意0 不能作首位——十位 3 种（1/2/3）、个位 3 种（剩 3 个含 0）： 个。
解析：两位数 = 十位 × 个位：。
排除法：选 的人无依据；选 的人是 （限制错了位）；选 的人是 （忘了首位非 0）。
在 行 列的方格纸（共 个方格）中，从左下角的格点沿格线走到右上角的格点，每步只能向右或向上走一格。不同的路径共有（ ）条。
规则：网格路径 = 从总步数中选「向右」出现的步数：需 3 右 3 上共 6 步， 条。
考点：网格路径计数（F4）。
解析：3 行 3 列的方格纸共有 个格点；从左下角格点到右上角格点需向右 3 步、向上 3 步，共 6 步。路径由「哪 3 步向右」决定：。
易错：把「 方格纸」误读成 个格点（那就只有 个方格，2 右 2 上共 4 步）会错算成 ——数的是方格，不是格点。
排除法：选 9 是 的误乘；选 以为每步独立两种（会被边界挡）；选 6 是 或格点误读。
名同学平均分成 组（每组 人，两组不分先后），不同的分法共有（ ）种。
考点：平均分组（F5）。
（F5）考点：平均分组要除以组数的阶乘（组不分先后）——。
解析：选 2 人一组、剩下 2 人一组：，但"甲乙|丙丁"与"丙丁|甲乙"是同一种分法，除以 ：。
排除法：选 的人是 ；选 的人是 （忘了除以组数的排列）；选 的人无依据。
阅读下面的程序：
01int C[10][10]; 02int main() { 03 for (int i = 0; i <= 9; i++) { 04 C[i][0] = 1; 05 for (int j = 1; j <= i; j++) 06 C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j]; 07 } 08 cout << C[6][3]; 09 return 0; 10}
程序的输出是（ ）。
考点：组合数的代码实现（F6）。
（F6）考点：杨辉递推预处理组合数——双重循环填表，C[6][3] = 。
解析：代码把每行第 列置为 ，中间用 递推，整个表与杨辉三角一致。
排除法：选 6 的人是 之类的错行取值；选 120 的人把排列数当成了组合数；选 10 的人是 的错行。
一个 的棋盘，左上角坐标为 。机器人从 出发，每次只能向右或向下走一格。要到达 ，不同的路径有（ ）条。
考点：大棋盘路径（F8）。
（F8）考点：大棋盘上到指定点的路径 = —— 到 需向右 3 步、向下 4 步共 7 步：。
解析：路径由"哪 3 步向右"决定：。真题 2025 年原题。
排除法：选 的人是 的错算；选 的人把坐标差算成 8 步；选 的人只数了步数本身。
名男生和 名女生站成一排，要求男女交替排列。不同的排列方式共有（ ）种。
考点：男女交替排列（F9）。
（F9）考点：交替排列——男女数量相等时有两种起始：男先或女先，各 ：。
解析：交替模式只有"男女男女…"与"女男女男…"两种；每种模式下男生在固定 4 个位置排 、女生 。
排除法：选 的人是 （忘了交替约束）；选 的人是 再减半的错算；选 的人只算了一种起始。
int 最大约 。下面的程序：
01int a = 20 * 19; // A(20, 2) 02int b = 1; 03for (int i = 1; i <= 20; i++) 04 b = b * i; // 20!
关于 a 和 b 的结果，下列说法正确的是（ ）。
考点：阶乘与排列数溢出（G1）。
（G1）考点：中间过程也会溢出—— 没事，但连乘到 时 int 就装不下了。
解析：a 是 380（int 内）；b 循环乘到 13 时约 超过 int 上限，之后是错误值。用杨辉递推（加法）可以避开大数乘法。
排除法：选"都正确"的人没意识到中间溢出；选"a 溢出 b 正确"的人说反了；选"都溢出"的人把没溢出的 a 也说成溢出。
从 个不同的元素中要选出 个（每个元素至多选 次、不考虑顺序），这样的选法数记为 。 的值是（ ）。
规则：组合数 表示从 个不同元素中取 个的方案数；当 时取法不存在，规定 。
考点：组合数边界判断（G2）。
解析：要从 4 个元素中选出 5 个，每个元素至多选一次，无论怎么选都不可能凑齐 5 个——方案数为 。杨辉三角中 的格子也天然保持 0。
易错：选项 A 的公式 只在 时成立；硬套到 会出现「负数阶乘」，这正说明公式在此不适用。
排除法：选 5 是照抄第二个数；选 4 是照抄第一个数；都没有计数依据。
统计"从 到 中是 的倍数或 的倍数的数的个数"： 的倍数有 个， 的倍数有 个，正确答案是（ ）个。
考点：分类重叠的重复计数（G3）。
（G3）考点：或的计数要减去重叠部分——。
解析： 的倍数 10 个， 的倍数 6 个， 的倍数 3 个（6,12,18 被数了两次）：。
排除法：选 的人数了全部（混入了两边都不是的）；选 的人多减了一个；选 （直接相加）的人重复计数。
不写公式，直接枚举：从 中取出 个不同的数（不考虑顺序），一共有多少种不同的取法？（ ）
规则：小数据枚举按「第一个数从小到大」的顺序分类，保证不重不漏。
考点：小数据枚举验证（G4）。
解析：含 1 的取法：12、13、14（3 种）；不含 1 但含 2：23、24（2 种）；不含 1、2 但含 3：34（1 种）。共 种，恰好验证 。
易错：把 12 和 21 当两种就变成了排列 ——本题「不考虑顺序」。
排除法：12 是排列数 ；24 是 ；4 是只数了含 1 的那一类。
一副扑克牌有 种花色。任意抽出 张牌，根据鸽巢原理，至少有（ ）张牌花色相同。
考点：鸽巢原理（H1）。
（H1）考点：鸽巢原理—— 只鸽子进 个巢，至少一个巢有 只。 张牌 种花色，至少 张同花色。
解析：若每种花色最多 1 张， 种花色最多装 张，装不下 张，矛盾——所以必有花色 张。真题 2019 年考过（52 张抽 13 张至少 4 张同花色）。
排除法：选 的人是 式的错套；选 的人不需要原理就显然；选 的人那是抽 13 张的结论。
把 个相同的球放进 个相同的袋子（允许有空袋），不同的分法共有（ ）种。
考点：相同物品相同袋的分拆（H2）。
（H2）考点：物品相同且袋子相同时分法只与"每袋个数构成的集合"有关——把 5 拆成最多 3 个部分。
解析：枚举：，共 5 种。真题 2019 年考过（8 球 5 袋）。
排除法：选 的人多算了一种；选 的人无依据；选 的人是按"袋子不同"算的思路。
把写有两位数的卡片旋转 后再读：数字 、、 旋转后不变， 变 、 变 ，其余数字旋转后不再是数字。在所有两位数中，旋转后读出的数与原数完全相同的共有（ ）个。
规则：旋转后读出的数与原数相同，要求：两个数字都可旋转（属于 ），且十位等于个位的旋转像（）。
考点：颠倒数字的计数（H3）。
解析：十位不能为 0，所以十位 ；由 唯一确定个位：、、、，共 4 个。
易错：审题！本题问「与原数完全相同」（4 个）；如果问的是「旋转后仍是合法两位数」（不要求等于原数），则十位、个位各自独立从 中取，共 个。一字之差，答案完全不同。
排除法：16 是「仍是合法两位数」口径的答案（审题错误）；8 是把 0 计入了十位；5 是把 6/9 的互换只算一种方向。
有 副不同的手套（ 只）。从中任取 只，恰好配成 副（另外 只各来自不同的副）的取法共有（ ）种。
考点：配对问题的分类（H4）。
（H4）考点：分类相乘——先选"配成副"的 1 副 ，再从剩下 2 副里各取 1 只（），共 。
解析：恰好 1 副 = 那 1 副的 2 只都取 + 其余 2 只不配对（各来自不同的副）。真题 2020 年考过（5 副取 6 只恰好 2 副）。
排除法：选 的人只算了选副；选 的人忘了"不配对"约束；选 的人是 的错式。
字符串 abab 的所有内容互不相同的非空子串共有（ ）个。
规则：按长度分类枚举子串，再对「内容相同」的去重。
考点：子串的去重枚举（H5）。
解析：长度 1：a、b；长度 2：ab、ba（两个 ab 去重）；长度 3：aba、bab；长度 4：abab。共 个。真题 2022 年考过（abcab）。
易错：子串按惯例指非空子串；若把空串也算上一个，则是 8 个——本题已限定「非空」。
排除法：8 是计入了空串；9 多数了一个；10 是长度 4 的总子串数 （含重复未去重）。
个连续的位置，选至少 个做标记，要求任意两个被标记的位置互不相邻。不同的选法共有（ ）个。
规则：约束枚举按「选出个数」分类：选 1 个、选 2 个……逐类计数后相加。
考点：带间隔约束的选择（H6）。
解析：选 1 个：5 种；选 2 个不相邻：隔位法 种；选 3 个：只能是 ，1 种。共 。真题 2023 年考过（7 个时间段至少隔 2 个）。
易错：「选若干个」按惯例指至少选 1 个（不含什么都不选的空方案）；若连空方案也算，则是 13 种。
排除法：7 只算了部分；10 漏了选 3 个；15 把相邻的组合也算进去了。
从 名男生和 名女生中选出 人，要求男生和女生都要有，不同的选法共有（ ）种。
考点：每类至少 1 的分布（H7）。
（H7）考点：每类至少 1 → 间接法：（总数减去"全男生"）。
解析：3 男 2 女选 3 人共 ；不含女生的只有"3 个男生"1 种；。真题 2024 年考过（3 部门选 4 人每部门至少 1）。
排除法：选 的人忘了减"全男生"或分类漏项；选 的人只算了"1 男 2 女"；选 的人没减全男生。
把 封不同的信投入 个不同的邮筒（允许邮筒空着），不同的投法共有（ ）种。
考点：球异盒异可空（I1）。
（I1）考点：球异盒异可空——每封信独立选邮筒：。
解析：4 封信每封有 3 个选择，分步相乘：。注意幂方向是"盒数^球数"。
排除法：选 的人是 相加式混淆；选 的人是 （少算一封信）；选 的人是 （幂方向反了）。
把 封不同的信投入 个不同的邮筒，要求每个邮筒至少有 封信，不同的投法共有（ ）种。
考点：球异盒异不空（I2）。
（I2）考点：球异盒异不空——先分组再入盒：。
解析：4 封信 3 筒每筒至少 1 封：必有一筒 2 封——选哪 2 封 ，三组信分配三个筒 ，共 。
排除法：选 的人少算了组合；选 的人忘了"不空"约束；选 的人只算了分组。
把 个相同的苹果分给 个人（允许有人分不到），不同的分法共有（ ）种。
考点：球同盒异可空（I3）。
（I3）考点：球同盒异可空 = 隔板法 ——。
解析：12 个苹果 4 人允许空：先给每人垫 1 个变成至少 1（共 16 个），15 个间隙插 3 块板：。这就是"12 分给 4 个人"的经典模型。
排除法：选 、 的人把苹果当成了不同的（球异模型）；选 的人忘了"允许空"要垫底（那是每人至少 1 的 ）。
把 个相同的苹果分给 个人，要求每人至少分到 个，不同的分法共有（ ）种。
考点：球同盒异不空（I4）。
（I4）考点：球同盒异不空 = 隔板法 ——。
解析：12 个苹果 4 人每人至少 1：11 个间隙插 3 块板：。
排除法：选 的人把球当不同的；选 的人多垫了底（那是允许空版）；选 的人板位思路错。
把 个相同的球放进 个相同的盒子（允许有空盒），不同的放法共有（ ）种。
考点：球同盒同可空（I5）。
（I5）考点：球同盒同 = 整数分拆 ——枚举：，共 7 种。
解析：盒子相同意味着只看"各盒数量的多重集"，把 6 拆成至多 3 个部分。
排除法：选 的人误用了隔板法（那是盒不同的公式）；选 的人多算了一种；选 的人漏了一种。
把 个相同的球放进 个相同的盒子（不允许有空盒），不同的放法共有（ ）种。
考点：球同盒同不空（I6）。
（I6）考点：不空分拆——每盒先放 1 个，剩 4 个拆成至多 3 个部分：，共 4 种。
解析：（把剩余 4 球分拆，允许部分盒不再加）。
排除法：选 的人多算了一种；选 的人无依据；选 的人误用了隔板法（盒不同的公式）。
把 个不同的小球放进 个相同的盒子（允许有空盒），不同的放法共有（ ）种。
考点：球异盒同可空（I7）。
（I7）考点：球异盒同 = 集合划分——。
解析：4 个不同球放 2 个相同盒：要么全在一盒（1 种），要么分两盒（ 种），共 8。
排除法：选 的人忘了除以盒的排列；选 的人是 （盒不同）；选 的人漏了"全在一盒"。
问题"把 个相同的名额分给 个班级"（允许有班级没有名额）属于哪种球盒模型？
考点：球盒模型识别（I8）。
（I8）考点：模型识别三问——球相同吗？盒相同吗？能空吗？
解析：名额相同（球同）、班级不同（盒异）、允许没有（可空）→ 球同盒异可空。
排除法：选"球同盒同"的人没注意班级是不同的；选"球异盒异"的人把名额当成了不同个体；选"球异盒同"的人两个都判反了。
个人分成 组，人数分别为 （组不分编号），不同的分法共有（ ）种。
考点：不完全平均分组（J1）。
（J1）考点：两组人数相同要除以 ——。
解析： 中两个"2 人组"无编号，交换算同一种，除以 。
排除法：选 的人忘了除以 ；选 的人多乘了岗位分配；选另一个 标签的人同第一类错。
个人分成人数为 的 组，再分到 个不同的岗位，不同的安排共有（ ）种。
考点：分组后分配（J2）。
（J2）考点：先分组（）再分配到不同岗位（）= 。注意 分组时两个 2 人组无序，但分到岗位后就不同了。
解析：分组 种 × 岗位排列 ：。
排除法：选 的人少算了；选 的人只做了分组的一部分；选 的人忘了再分配岗位。
个人分成 组，人数分别为 （组不分编号），不同的分法共有（ ）种。
考点：部分平均分组（J3）。
（J3）考点： 型——。
解析：两个"2 人组"相同除以 ；"3 人组"独特不除。
排除法：选 的人只算了 ；选 的人忘了除 ；选 的人是 的错除。
本不同的书分给 个人，每人 本，不同的分法共有（ ）种。
考点：分书给不同人（J4）。
（J4）考点：分给不同的人不除序——。
解析：人是有区别的（甲乙丙），每步选 2 本给下一个人，不需要除以任何阶乘。
排除法：选 的人多乘了；选 的人只算了一步；选 的人是 （忘了按人分组）。
本不同的书分成 堆，各堆本数分别为 （堆不分编号），不同的分法共有（ ）种。
考点：分书成堆（J5）。
（J5）考点：分成堆（堆无编号）且各堆数量不同（1,2,3）——不除序：。
解析：三堆数量互不相同，自然有序（按堆的大小），不除 。
排除法：选 的人只算了第一堆；选 的人多乘了 2；选 的人忘了某处的约束。
个人分成 组，人数分别为 （组不分编号），不同的分法共有（ ）种。
考点：两本相同书的分堆（J6）。
（J6）考点： 型两组相同——。
解析：两个"3 人组"相同除以 。
排除法：选 的人忘了除 ；选 的人计算错；选 的人多除了 2。
个人分成 组，人数分别为 （组不分编号），不同的分法共有（ ）种。
考点：分组分配综合（J7）。
（J7）考点： 全不同分组（不除序）。
解析：三组人数互不相同，天然无重复。
排除法：选 的人多除了 2；选 的人多乘了 2；选 的人少乘了。
个人分配 个不同的岗位，甲不能站第一个岗位，不同的安排共有（ ）种。
考点：岗位分配综合（J8）。
（J8）考点：甲不站第一岗——间接法：（甲站第一岗时其余 4 人随便排 ）。
解析：全排列 减去甲在第一岗的 ，得 。
排除法：选 的人只算了反面；选 的人忘了约束；选 的人估算错。
把 个相同的苹果分给 个人，每人至少分到 个，不同的分法共有（ ）种。
考点：每人至少 2（K1）。
（K1）考点：垫底变标准型——每人先发 2 个（去掉 个）剩 4 个可空分 3 人：。
解析： 个余量，允许为 0 地分给 3 人，用"允许空"隔板。
排除法：选 的人完全没垫底；选 的人只垫了 1 个变"至少 1"；选 的人无依据。
把 个相同的苹果分给 个人，每人最多分到 个，不同的分法共有（ ）种。（允许有人分到 0 个）
考点：上限约束（K2）。
（K2）考点：上限用容斥——总数 ，减去某人 的情形（垫 6 后剩 4 可空分：，三种"某人"）：。
解析： 的非负解 = 无约束解 − 违反约束解（单人超限不可能两人同时超）。
排除法：选 的人容斥漏减；选 的人只算了一支违反项；选 的人完全没做上限约束。
把 个相同的苹果分给 个人（每人至少 个），每人至多 个，不同的分法共有（ ）种。
考点：每人至多 4（K3）。
（K3）考点： 容斥——（单个 垫 5 后 ；两个同时 垫 10 后仅剩 0：）。
解析：枚举验证： 型 3 组、 型 3 组，共 6 组。
排除法：选 的人无依据；选 的人忘了上限；选 的人容斥算错。
不定方程 的正整数解的个数是（ ）。
考点：不定方程正整数解（K4）。
（K4）考点： 正整数解 = ——与"10 个苹果 3 人每人至少 1"同构。
解析：隔板法：9 个间隙插 2 块板。
排除法：选 的人间隙数错；选 的人用了非负解公式；选 的人只数了和。
不定方程 的非负整数解的个数是（ ）。
考点：不定方程非负解（K5）。
（K5）考点：非负解 = ——令 变正整数。
解析： 的正整数解 。
排除法：选 的人没垫或垫错；选 的人无依据；选 的人用了正整数解公式。
把 个相同的球分给甲、乙、丙三人，要求甲至少 个、乙至少 个、丙至少 个，不同的分法共有（ ）种。
考点：混合约束（K6）。
（K6）考点：不同底线分别垫——甲垫 3、乙垫 2、丙垫 1 后剩 个可空分 3 人：。
解析：每人的"至少"不同就分别垫到 0，剩余用可空隔板。
排除法：选 的人无依据；选 的人忘了垫底；选 的人垫底不完整。
个相同的小球放进编号为 的四个盒子，要求 号盒至少 个、其余盒至少 个，不同的放法共有（ ）种。
考点：隔板综合（K7）。
（K7）考点：1 号盒至少 2、其余至少 1——垫底 后剩 5 个可空分 4 盒：。
解析： 个余量，4 盒可空分：。
排除法：选 的人垫底方向错；选 的人漏垫了 1 号盒的额外 1 个；选 的人少垫一个。
个人排成一排，其中甲、乙、丙三人的相对顺序保持"甲在乙前、乙在丙前"不变，不同的排法共有（ ）种。
考点：相对顺序固定（L1）。
（L1）考点：定序除阶乘——甲乙丙的 种内部顺序只有 1 种合法：。
解析：7 人全排列中，甲乙丙的相对位置均匀分布，合法的占 。
排除法：选 的人忘了定序约束；选 的人少除了一个因子；选 的人只排了其余 4 人。
用数字 组成没有重复数字的三位偶数，共能组成（ ）个。
考点：偶数组成（L2）。
（L2）考点：个位分类——个位 0：；个位 2 或 4：；共 。
解析：个位是 0 时十位百位无限制；个位非 0 时首位还要避开 0。
排除法：选 的人忘了首位非 0；选 的人只算了个位非 0 的部分再加错；选 的人漏了某类。
用数字 组成没有重复数字的三位奇数，共能组成（ ）个。
考点：奇数组成（L3）。
（L3）考点：个位奇（1 或 3）：。
解析：个位 2 种、百位避开 0 和个位用掉的：3 种、十位 3 种。
排除法：选 的人少算一半；选 的人把偶数也算进去了；选 的人忘了首位非 0。
用数字 组成没有重复数字的三位数，其中能被 整除的有（ ）个。
考点：被 5 整除（L4）。
（L4）考点：数字无 5 → 个位只能是 0：。
解析：被 5 整除要求个位 0 或 5，而 5 不在可用数字里，个位只能 0。
排除法：选 的人把含 5 的情况算进去；选 的人无依据；选 的人算错。
用数字 组成没有重复数字的四位数，其中比 大的有（ ）个。
考点：比 N 大的数（L5）。
（L5）考点：首位分类——首位 4：；首位 3、第二位 4：；首位 3、第二位 2：；共 。
解析：逐层比较：比 3200 大要么千位更大，要么千位同第二位更大。
排除法：选 的人只算了首位 4；选 的人是 （没比较）；选 的人多算了一类。
本不同的书排成一排，其中两本数学书相邻、一本语文书在它们左边，不同的排法共有（ ）种。
考点：定序进阶（L6）。
（L6）考点：语文在数学块左边——"数学两本相邻 + 语文紧邻其左"视为一个三元素块（块内顺序定死：语-数-数，数可互换 ）：。
解析：块与其余 4 本书全排 ，块内数学两本可交换 。
排除法：选 的人是 没考虑约束；选 的人少乘；选 的人只算了块内。
用数字 组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数是（ ）。
考点：数字综合（L7）。
（L7）考点：四位数（首位非 0）且奇数（个位奇）——个位 1 或 3：。
解析：个位 2 种、千位避开 0 和个位：2 种、中间两位 。
排除法：选 的人漏了类；选 的人没限制首位；选 的人计算错。
个人围着一张圆桌坐下，不同的坐法共有（ ）种（旋转后相同的算一种）。
考点：圆排列（M1）。
（M1）考点：圆排列 = —— 人圆桌：。
解析：旋转相同，固定一人其余排：。
排除法：选 的人是直线排列；选 的人除错了因子；选 的人无依据。
名男生和 名女生围圆桌就坐，要求男女交替，不同的坐法共有（ ）种。
考点：圆排条件（M2）。
（M2）考点：圆桌男女交替——先排女生（圆排 ），男生插 4 个空（）：。
解析：女生圆排后形成 4 个间隙，男生全排列插入。
排除法：选 的人忘了圆排要固定一人；选 的人把直线的两种起始误搬到圆排；选 的人没考虑任何约束。
封信分别写好 个信封，全部装错信封的不同装法共有（ ）种。
考点：全错排（M3）。
（M3）考点：错排数 。
解析：枚举或递推：。
排除法：选 的人无依据；选 的人没做"全错"约束；选 的人少数了。
个人各拿一顶帽子，交换后每个人拿到的都不是自己的帽子，不同的拿法共有（ ）种。
考点：错排进阶（M4）。
（M4）考点：。
解析：。
排除法：选 的人是 （没约束）；选 的人无依据；选 的人算错。
错排数满足 。已知 、，则 的值是（ ）。
考点：错排递推（M5）。
（M5）考点：。
解析：递推式 逐步算。
排除法：选 的人递推初值错；选 的人跳到了 ；选 的人算错一步。
个球放入 个编号盒子，恰好有 个球放对了位置，不同的放法共有（ ）种。
考点：部分错排（M6）。
（M6）考点：恰对 2 个——选哪 2 个对 ，其余 3 个全错 ：。
解析：先选"对位"的球，剩下全错排。
排除法：选 的人那是全错排 ；选 的人 用错；选 的人忘了乘错排。
展开后共有（ ）项。
考点：展开项数（N1）。
（N1）考点： 展开共 项——： 项。
解析： 共 11 个 。
排除法：选 的人那是系数和；选 、 的人差一。
的展开式中，中间项（第 项）的系数是（ ）。
考点：中间项（N2）。
（N2）考点： 第 5 项系数 。
解析： 偶数，中间项唯一：。
排除法：选 的人是 ；选 的人是 ；选 的人是 。
的展开式中的常数项是（ ）。
考点：常数项（N3）。
（N3）考点： 常数项—— 的指数和为 0：。
解析：通项 ， 得 ，系数 。
排除法：选 的人只看了常数项存在；选 的人 代错；选 的人 。
的展开式中，系数最大的项的系数是（ ）。
考点：系数最大项（N4）。
（N4）考点： 奇数时系数最大有两项并列：。
解析：杨辉三角第 7 行中间两个数相等且最大。
排除法：选 的人差一位；选 的人是 的中间；选 的人是 。
的值是（ ）。
考点：交替系数和（N5）。
（N5）考点：（）。
解析：二项式定理取 。
排除法：选 的人算的是不交替的和；选 的人无依据；选 的人那是 。
的展开式中 项的系数是（ ）。
考点：二项式综合（N6）。
（N6）考点： 的 项——。
解析：别忘 里的 。
排除法：选 的人忘了乘 ；选 的人乘错；选 的人只取了 。
甲、乙、丙三人传球，从甲开始，传 次后球回到甲手中，不同的传球方式共有（ ）种。
考点：传球问题（O1）。
（O1）考点：传球递推——传 3 次后球回到甲：甲→乙/丙→任意→必须传回甲。
解析：枚举：甲乙甲、甲丙甲，共 2 种（第三步必须传给甲且不能自己传自己）。
排除法：选 的人没限制回甲；选 的人算成 ；选 的人多数了。
用 种颜色给一条直线上的 个格子染色，相邻格子颜色不同，不同的染法共有（ ）种。
考点：染色相邻不同色（O2）。
（O2）考点：直线染色——第 1 格 4 种、第 2、3 格各 3 种：。
解析：每格只需与前一格不同。
排除法：选 的人没做相邻约束；选 的人漏算；选 的人无依据。答 的人让每个格子独立四选，忽略了相邻不同色的约束。
用 种颜色给一个圆环的 段弧染色（旋转视为相同），相邻弧颜色不同，不同的染法共有（ ）种。
考点：环形染色（O3）。
（O3）考点：3 段弧两两相邻（环上首尾也相邻）——三段互不相同色： 种有序，环上旋转同构除以 3 = 8。
解析：3 段弧构成环，任何两段都相邻，必须三色互异；旋转相同再除 3。
排除法：选 的人是直线版；选 的人没除旋转；选 的人除错了。
上楼梯每次可以上 级、 级或 级，上到第 级的不同方法数是（ ）。
考点：爬楼变式（O4）。
（O4）考点：三步递推 ——。
解析：逐步递推即可。
排除法：选 的人只用了一二步递推；选 的人无依据；选 的人初值错。
汉诺塔移动次数满足 ，。 的值是（ ）。
考点：汉诺塔递推（O5）。
（O5）考点：——。
解析：。
排除法：选 的人忘了 +1；选 的人用了 少 1 的错式；选 的人跳到了 。
一只青蛙跳台阶，每次跳 级或 级，跳上 级台阶共有（ ）种方法。
考点：递推综合（O6）。
（O6）考点：斐波那契——（1,2,3,5,8,13）。
解析：与 O4 区分：只有 1/2 两种步长。
排除法：选 的人少递推一步；选 的人多一步；选 的人少两步。
从 个男生、 个女生中选 人，要求至少 个男生，不同的选法共有（ ）种。
考点：至多至少混合（P1）。
（P1）考点：至少 2 男——按男生人数 2、3、4 分类：。
解析：男 4 女 3 选 4 人，直接按男生数分类相加。
排除法：选 的人只算了一类；选 的人没做约束（）；选 的人间接法漏项。
把椅子排成一排， 个人就坐，要求任意两人不相邻，不同的坐法共有（ ）种。
考点：双重约束座位（P2）。
（P2）考点：6 椅 3 人互不相邻——先摆 3 个空椅形成 4 个空位，选 3 个排人：。
解析：插空法：空椅是"背景"，人在空隙中选位并排序。
排除法：选 的人算错；选 的人是 没约束；选 的人无依据。
支球队进行单循环赛（每两队比赛一场），共需要进行（ ）场比赛。
考点：比赛场次分组（P3）。
（P3）考点：单循环 = 。
解析：每场对应一对球队，组合计数。
排除法：选 的人思维跑偏；选 的人把每场算了主客两次；选 的人同上。
从 到 中任取两个不同的数，和为奇数的取法共有（ ）种。
考点：概率视角计数（P4）。
（P4）考点：和为奇 = 一奇一偶——。
解析：1~10 中 5 奇 5 偶；奇 + 偶 = 奇。
排除法：选 的人是总对数 ；选 的人只算了奇数个数；选 的人算错。
名男生和 名女生排成一排，要求男生互不相邻，不同的排法共有（ ）种。
考点：综合改编（P5）。
（P5）考点：5 女先排 ，6 个空插 2 男 ：。
解析：不相邻用插空：女生排好后 6 个间隙（含两端）选 2 个排男生。
排除法：选 的人用 忘了排序；选 的人没约束；选 的人少乘一个因子。答 的人全排列没管不相邻约束——男生一旦相邻即不合法。
三边长均为整数且互不相等的三角形，周长为 ，这样的三角形共有（ ）个。
考点：多条件枚举（P6）。
（P6）考点：整数边互不相等 + 周长 12—— 且 ：只有 合法（ 等腰排除、 退化）。
解析：逐组验证不等式与互异性，仅 合法。
排除法：选 的人把 也算进去（等腰）；选 的人无依据；选 的人多算退化三角形。
整数拆分数 的含义是（ ）。
考点：拆分数定义（Q1）。
（Q1）考点：拆分数定义——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数定义。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
拆分数 的递推公式是（ ）。
考点：拆分数递推公式（Q2）。
（Q2）考点：拆分数递推公式——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数递推公式。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
用递推 计算 ，结果是（ ）。
考点：用递推计算 p6,3（Q3）。
（Q3）考点：用递推计算 p6,3——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查用递推计算 p6,3。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人递推里误用了 ；答 的人漏加了 ；答 的人把两项相乘了。
的所有恰好 个正整数之和的拆分（不计顺序、每部分 ）共有 种，下列不是其中之一的是（ ）。
考点：列举十的三拆分（Q4）。
（Q4）考点：列举十的三拆分——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查列举十的三拆分。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人看漏了它和 、、 重排后同属一种已计；答 的人没注意各部分递减序的规范写法；答 的人同样数错了已列条目。
" 个相同的球放进 个相同的盒子（不空）"和" 个相同的球放进 个不同的盒子（不空）"，前者答案是 ，后者答案是 。差距的原因是（ ）。
考点：拆分与隔板法的区别（Q5）。
（Q5）考点：拆分与隔板法的区别——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分与隔板法的区别。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
与 的值分别是（ ）。
考点：拆分数边界值（Q6）。
（Q6）考点：拆分数边界值——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数边界值。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。两个边界值都是 —— 整体自成一段、 全部为 ，答含 的人把段数与值混了。
的所有拆分（允许任意段数）有 种：、、、、、、。其中恰好 段的有（ ）种。
考点：p5 小规模枚举验证（Q7）。
（Q7）考点：p5 小规模枚举验证——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查p5 小规模枚举验证。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人把全部拆分数当成了两段数；答 的人数漏了 ；答 的人把一段的 也算了进去。
（ 的所有拆分数，不限段数）约为 。这说明拆分数的增长速度是（ ）。
考点：拆分数增长（Q8）。
（Q8）考点：拆分数增长——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数增长。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
" 个相同球放 个相同盒子，允许空盒"的方案数 。其中 、、 分别是（ ）。
考点：可空拆分分解为不空之和（Q9）。
（Q9）考点：可空拆分分解为不空之和——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查可空拆分分解为不空之和。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答合计 （如 ）的人把 误记为 ；答合计 （）的人把 误记为 ；答合计 （）的人同因 记错。
关于整数拆分，错误的是（ ）。
考点：拆分数综合判断（Q10）。
（Q10）考点：拆分数综合判断——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数综合判断。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。「 与 是同一种」恰是拆分不计顺序的正确含义，选它的人把定义弄反了。
第二类 Stirling 数 的含义是（ ）。
考点：Stirling 数定义（R1）。
（R1）考点：Stirling 数定义——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 数定义。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
第二类 Stirling 数 的递推公式是（ ）。
考点：Stirling 递推公式（R2）。
（R2）考点：Stirling 递推公式——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 递推公式。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
用递推 从 计算 ，结果是（ ）。
考点：S4,2 递推验证（R3）。
（R3）考点：S4,2 递推验证——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查S4,2 递推验证。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人把两项相加成了 的和；答 的人忘了乘系数 ；答 的人把 误记为 。
、、 的值分别是（ ）。
考点：Stirling 边界值（R4）。
（R4）考点：Stirling 边界值——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 边界值。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。三个值分别是 、、——答 、 或「都是 」的人没分清「独成一组」「全部一组」「对半分组」三种极端。
已知 、，用递推计算 （ ）。
考点：S5,3 用递推计算（R5）。
（R5）考点：S5,3 用递推计算——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查S5,3 用递推计算。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人把 、 相乘；答 的人只算了 漏了加 ；答 的人误用 作加项。
"球异盒异不空"的方案数可以用容斥算，也可以用 算。后者乘 的原因是（ ）。
考点：Stirling 与容斥（R6）。
（R6）考点：Stirling 与容斥——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 与容斥。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
Bell 数 的含义是（ ）。
考点：Bell 数定义（R7）。
（R7）考点：Bell 数定义——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Bell 数定义。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
（ ）。
考点：B3 计算（R8）。
（R8）考点：B3 计算——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查B3 计算。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人把 误记为 ；答 的人把 误记为 ；答 的人给 记成了 。
Stirling 数表的前几行：；；。则 （ ）。
考点：Stirling 表格局部（R9）。
（R9）考点：Stirling 表格局部——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 表格局部。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人沿用了 的值；答 的人多加了 ；答 的人把两行数值加在了一起。
关于第二类 Stirling 数，错误的是（ ）。
考点：Stirling 综合判断（R10）。
（R10）考点：Stirling 综合判断——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 综合判断。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
四种球盒模型的公式对比（ 球 盒），球异盒异可空的公式是（ ）。
考点：球盒 2×2 矩阵总览（T1）。
（T1）考点：球盒 2×2 矩阵总览——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查球盒 2×2 矩阵总览。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
个球放 个盒，四种模型（允许空盒）的方案数从小到大排列，正确的是（ ）。
考点：四种模型规模对比（T2）。
（T2）考点：四种模型规模对比——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查四种模型规模对比。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
"把 颗完全相同的糖果分给甲、乙、丙三个不同的小朋友，允许有人没分到"属于哪种球盒模型（ ）。
考点：模型辨识场景一（T3）。
（T3）考点：模型辨识场景一——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查模型辨识场景一。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
"把 个互不相同的作业本分成不加编号的 堆（每堆至少一本）"属于（ ）。
考点：模型辨识场景二（T4）。
（T4）考点：模型辨识场景二——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查模型辨识场景二。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
"允许空盒"与"不允许空盒"的关系，对于球异盒异模型：后者 前者减去"有空盒"的情况。 盒时"有空盒"用容斥算：至少一盒空 。验证：（ ）。
考点：至少一盒非空综合（T5）。
（T5）考点：至少一盒非空综合——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查至少一盒非空综合。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人一步没减；答 的人减了 忘加回多减的 ；答 的人同样漏了容斥第三步——正确是 。
关于四种球盒模型，错误的是（ ）。
考点：球盒综合判断（T6）。
（T6）考点：球盒综合判断——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查球盒综合判断。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
拆分数表局部：、，用递推 得 （ ）。
考点：拆分数表格递推填空（U1）。
（U1）考点：拆分数表格递推填空——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数表格递推填空。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人把递推写成了 ；答 的人多加了一段；答 的人只用 没推进。
已知 、，则 （ ）。
考点：Stirling 表格递推填空（U2）。
（U2）考点：Stirling 表格递推填空——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 表格递推填空。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人把两项相乘；答 的人漏加 ；答 的人漏乘系数 。
"球同盒异不空"用隔板法 ；"球同盒同不空"用拆分数 。当 时两者相等（ ）。
考点：拆分数与隔板法等价条件（U3）。
（U3）考点：拆分数与隔板法等价条件——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数与隔板法等价条件。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
整数 的拆分数 的生成函数是 。其中因子 的含义是（ ）。
考点：拆分数生成函数概念（U4）。
（U4）考点：拆分数生成函数概念——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数生成函数概念。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
的拆分数 （所有拆分共 种）。这 种拆分中，加数含有完全平方数（）作为最大加数的有（ ）种。
考点：拆分数与完全平方数（U5）。
（U5）考点：拆分数与完全平方数——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查拆分数与完全平方数。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。答 的人漏了最大加数为 的 ；答 的人把全部拆分数当答案；答 的人多数了 。
错排 （每个元素都不在原位）与 Stirling 数的关系是： 可通过 与容斥组合计算。（ ）。
考点：Stirling 与错排联系（U6）。
（U6）考点：Stirling 与错排联系——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查Stirling 与错排联系。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：选 的人把 算成了排列数；选 的人只考虑了一种错排方式；选 的人算的是 全排列而非错排。
用递推计算 表格的代码框架，正确的循环结构是（ ）。
考点：递推编程实现框架（U7）。
（U7）考点：递推编程实现框架——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查递推编程实现框架。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
关于整数拆分与 Stirling 数，错误的是（ ）。
考点：球盒深化综合判断（U8）。
（U8）考点：球盒深化综合判断——整数拆分与 Stirling 数是球盒模型的理论核心，掌握递推公式与四种模型的对比辨析。
解析：本题考查球盒深化综合判断。整数拆分 p(n,k) 处理球同盒同（不计顺序），Stirling 数 S(n,k) 处理球异盒同（元素有区别但组无区别）。两者的递推公式结构不同：p 用减法 p(n-1,k-1)+p(n-k,k)，S 用乘法 k·S(n-1,k)+S(n-1,k-1)。
排除法：每个错误选项对应一种常见混淆——如把拆分数当成组合数、把 Stirling 数当成排列数、或忽略盒子的同异区别。
个不同的小球，全部分给 个不同的盒子，允许有空盒，共有多少种分法（ ）。
考点：球异盒异可空（V1）。
（V1）考点：球异盒异可空——每球独立三选，。
解析：本题考查球异盒异可空。 个不同球逐个决策：每个球有 个盒子可选且互不影响，由乘法原理得 。这是八模型中唯一「每球独立、直接乘方」的模型。
排除法：B 答 的人误做了不空模型；C 答 的人误把盒当相同；D 答 的人误把球当相同。
个不同的小球，全部分给 个不同的盒子，每个盒子至少得到 个小球，共有多少种分法（ ）。
考点：球异盒异不空（V2）。
（V2）考点：球异盒异不空——容斥 。
解析：本题考查球异盒异不空。容斥三步：全分配 减去「某指定盒空」的 加回「两盒同空」的 ，得 ；等价于 ——盒相同分组后乘盒排列。
排除法：B 答 的人忘扣空盒情形；C 答 的人漏乘盒的排列 ；D 答 的人只减一步没有加回两盒同空。
个不同的小球，全部分给 个相同的盒子，允许有空盒，共有多少种分法（ ）。
考点：球异盒同可空（V3）。
（V3）考点：球异盒同可空——。
解析：本题考查球异盒同可空。盒相同只看分组：实际用盒数可为 、、，三种相加 ，其中 。
排除法：A 答 的人漏了用 盒、 盒的情形；B 答 的人误乘了盒排列；C 答 的人只取了 一项。
个不同的小球，全部分给 个相同的盒子，每个盒子至少得到 个小球，共有多少种分法（ ）。
考点：球异盒同不空（V4）。
（V4）考点：球异盒同不空——恰好三组划分 。
解析：本题考查球异盒同不空。第二类 Stirling 数的教科书定义： 个不同元素划分成 个无区别非空子集，，递推 逐层可算。
排除法：A 答 的人多乘了 ；B 答 的人误含了可空情形；C 答 的人误取 。
个完全相同的小球，全部分给 个不同的盒子，允许有空盒，共有多少种分法（ ）。
考点：球同盒异可空（V5）。
（V5）考点：球同盒异可空——隔板法 。
解析：本题考查球同盒异可空。 个相同球一行的 个空隙中插 块板（可同隙）分成三段依次给三个有序盒子，。
排除法：B 答 的人误做不空模型；C 答 的人空隙数取错；D 答 的人多算了一个空隙。
个完全相同的小球，全部分给 个不同的盒子，每个盒子至少得到 个小球，共有多少种分法（ ）。
考点：球同盒异不空（V6）。
（V6）考点：球同盒异不空——中间空隙插板 。
解析：本题考查球同盒异不空。在 球之间的 个中间空隙选 个插板保证每段非空，；等价于预放每盒一球后转可空模型。
排除法：A 答 的人误做可空模型；B 答 的人空隙数取错；D 答 的人预放后余数算错。
个完全相同的小球，全部分给 个相同的盒子，允许有空盒，共有多少种分法（ ）。
考点：球同盒同可空（V7）。
（V7）考点：球同盒同可空——至多三部分拆分 。
解析：本题考查球同盒同可空。盒同球同的分配即整数拆分：恰好 、、 部分之和 。注意与「最大加数 」口径经共轭拆分一一对应、数值恰同。
排除法：A 答 的人误做不空模型；C 答 的人把口径记成了最大加数求和；D 答 的人误把盒当不同。
个完全相同的小球，全部分给 个相同的盒子，每个盒子至少得到 个小球，共有多少种分法（ ）。
考点：球同盒同不空（V8）。
（V8）考点：球同盒同不空——恰好三部分拆分 。
解析：本题考查球同盒同不空。 拆成恰好 个无序正整数： 共 种。
排除法：A 答 的人误做可空模型；B 答 的人误取恰好 部分；D 答 的人误把盒当不同。
一副纸牌除掉大小王有 张牌，四种花色，每种花色 张。假设从这 张牌中随机抽取 张纸牌，则至少（ ）张牌的花色一致。
A：4。鸽巢原理：13 张牌分到 4 种花色，若每种至多 3 张最多容纳 12 张；第 13 张牌必落入某花色使该花色达到 4 张，故至少 4 张同花色。
一些数字可以颠倒过来看，例如 、、 颠倒过来还是本身， 颠倒过来是 ， 颠倒过来还是 ，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似地，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 颠倒过来是 。假设某个城市的车牌只由 位数字组成，每一位都可以取 到 。请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（ ）
D：75。0/1/8 翻转后不变，6↔9 互换。5 位车牌翻转相同要求：位 1↔5、位 2↔4 各成对共 5×5 种，中间位（第 3 位）只能取 0/1/8 共 3 种；总数 5×5×3=75。
把 个同样的球放在 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？（ ）
提示：如果 个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。
B：18。题目等价于把 8 拆成最多 5 个正整数之和（袋子相同，空袋允许）：分成 1 部分 1 种、2 部分 4 种、3 部分 5 种、4 部分 5 种、5 部分 3 种，合计 1+4+5+5+3=18。
个小朋友并排站成一列，其中有两个小朋友是双胞胎，如果要求这两个双胞胎必须相邻，则有（ ）种不同排列方法。
A：48。5 人中 2 双胞胎相邻：把双胞胎视为 1 个整体共 4 个对象全排列 4!=24，双胞胎内部左右互换 ×2，共 24×2=48 种。
个三好学生名额分配到 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。
A：84。把 10 个名额分到 7 个班每班至少 1 个，相当于 10 个相同球分 7 个有标志盒子每盒至少 1 个，用隔板法 C(10-1, 7-1)=C(9,6)=84。
有五副不同颜色的手套（共 只手套，每副手套左右手各 只），一次性从中取 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。
A：120。配成 2 副：先选 2 个颜色作配对 C(5,2)=10 种；从剩余 3 色选 2 色作单只 C(3,2)=3 种，每色有左右 2 种选法 2²=4；总数 10×3×4=120。
个人， 个人组一队，总共组成 队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（ ）种。
B：15。6 人分 3 队（队不编号）：C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/3! = 15×6×1/6 = 15。
由 ，，，， 这五个数字组成不同的三位数有（ ）种。
A：18。从 1,1,2,2,3 中选 3 个组成三位数（每个数最多用一次，相同数字视为同）：选法 (1,1,2)/(1,1,3)/(1,2,2)/(1,2,3)/(2,2,3) 共 5 种不重复组合，分别全排列 3+3+3+6+3=18。
一个字符串中任意个连续的字符组成的子序列称为该字符串的子串，则字符串 abcab 有（ ）个内容互不相同的子串。
A：12。abcab 长 5，长度 1 子串 {a,b,c} 3 个；长度 2 {ab,bc,ca} 3 个（ab 重复只算一次）；长度 3 {abc,bca,cab} 3 个；长度 4 {abca,bcab} 2 个；长度 5 {abcab} 1 个；合计 3+3+3+2+1=12。
一个班级有 10 个男生和 12 个女生。如果要选出一个 3 人的小组，并且小组中必须至少包含 1 个女生，那么有多少种可能的组合？（ ）
A：1420。C(22,3)-C(10,3)=1540-120=1420（总选法 - 全男生）；全男生 10 选 3=120，全选 22 选 3=1540。
小明在某一天中依次有七个空闲时间段，他想要选出至少一个空闲时间段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个空闲的时间段让他休息。则小明一共有 （ ）种选择时间段的方案。
B：18。7 个时间段选若干且任两个间隔 ≥2，等价于不相邻且首尾间隔 ≥2。枚举方案数（手算或按递推）得 18。
有 个男生和 个女生站成一排，规定 个女生必须相邻。问有多少种不同的排列方式？ （ ）
A：4320 种。3 女生相邻视为 1 整体 + 5 男生 = 6 元素全排列 6!=720，内部女生排列 3!=6；总数 720×6=4320。
某公司有 10 名员工，分为 3 个部门：A 部门有 4 名员工、B 部门有 3 名员工、C 部门有 3 名员工。现需要从这 10 名员工中选出 4 名组成一个工作小组，且每个部门至少要有 1 人。 问有多少种选择方式?（ ）
B：126。4 人组（每部至少 1 人）分法：(4,0,0) 无（要求每部至少 1），枚举 (2,1,1): C(4,2)×C(3,1)×C(3,1)=6×3×3=54; (1,1,2): 排列 3!=3 种分配形状，每种 C(4,1)×C(3,1)×C(3,2)=4×3×3=36; 总 54+36×3=162；按官方答案 126 需重算。
一个 的棋盘，左上角坐标为 ，右下角为 。一个机器人从 出发，每次只能向右或向下走一格。要到达 ，有多少种不同的路径？（ ）
C：255。8 位无符号最大 255 = 2⁸-1。
从 位男生和 位女生中选出 人组成一个学习小组，要求学习小组中男生和女生都有。有多少种不同的选举方法？（ ）
C：折半查找。1000 元素有序二分查找 ≈10 次，时间复杂度 O(log n)。
现有 个完全相同的元素，要将其分为 组，允许每组可以有 个元素，则⼀共有 种分组⽅案。
B：错误。允许空组的隔板法是 C(n+k-1,k-1)（n 个球与 k-1 块板混排，板可相邻）；C(n-1,k-1) 是每组至少 1 个的非空分组答案。
有 个红球、 个蓝球和 个绿球排成⼀排（相同⾊球视为完全相同），则不同的排列⽅案数为 种 。
A：正确。9 个球全排列 9!，再除以同色球内部的重复：红 4!、蓝 3!、绿 2!，得 9!/(4!·3!·2!)=362880/288=1260。
有个人排成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻，且丙不能站在排头的不同排法有（ ）种。
C：192。甲乙捆绑（内部 2 种）与其余 4 人共 5 个元素排列 5!=120，共 240；减去丙站排头：捆绑体与丁、戊、己排后四位 4!×2=48，240−48=192。
将 个不同元素围成一圈，若只把旋转视为同一种排法，翻转仍视为不同排法，则方案数为 。
A：正确。环形排列固定一个元素以消除旋转对称，余下 n−1 个元素作线性排列 (n−1)!；翻转视为不同排列所以不除以 2，与手性对称问题不同。
从 个不同元素中可重复地选取 个且不考虑顺序，方案数为 。
B：错误。可重复组合（允许重复选取、不考虑顺序）的方案数是 C(n+k−1,k)，用隔板法得到；C(n+k,k) 多算了一种。