古典概型的定义是？
考点：古典概型的定义（A1）。
解析：古典概型 = 基本事件有限且等可能，概率 = 有利数 ÷ 总数。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：无限基本事件走几何概型（C 组）。
关联 · 概率公式（A2）：有利/总数。
掷一颗均匀骰子，掷出 6 的概率是？
考点：概率公式（A2）。
解析：骰子 6 面等可能，掷出 6 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：6 个面各 。
关联 · 概率计算输出（I1）：代码版。
任何事件的概率取值范围是？
考点：概率的范围（A3）。
解析：概率恒在 ——算出范围外必错（H1）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：0 = 不可能、1 = 必然。
关联 · 概率超出范围（H1）：自查依据。
判断题：——事件 A 不发生的概率等于 1 减 A 发生的概率。
考点：对立事件（A4）。
解析：——不发生 = 1 减发生。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点："至少一个"的概率常用对立事件算（1 减"全不"）。
关联 · 对立事件输出（I2）：代码版。
A、B 互斥（不能同时发生）时， 等于？
考点：互斥事件的加法（A5）。
解析：互斥 → ——直接相加。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：不互斥必须用一般加法（A6）。
关联 · 互斥加法输出（I3）：代码版。
A、B 不互斥时， 等于？
考点：一般加法公式（A6）。
解析：——概率版容斥。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：与计数容斥同构。
关联 · 容斥求概率（F2）：容斥在概率中的应用。
条件概率 的定义是？
考点：条件概率的定义（B1）。
解析：——在 B 发生的世界里 A 的占比。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：分母是 （条件事件）。
关联 · 条件概率分母（H2）：易错点。
乘法公式是？
考点：乘法公式（B2）。
解析：——交的概率 = 先 A 再"A 下 B"。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：独立时退化为 。
关联 · 乘法公式输出（J2）：代码版。
A 与 B 独立的定义是？
考点：独立事件（B3）。
解析：独立 ⇔ ——概率可乘。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：独立是概率性质，不是"没有关系"。
关联 · 独立判定输出（J3）：代码版。
判断题：独立与互斥是两个不同概念——独立看"概率是否相乘"，互斥看"能否同时发生"；互斥必不独立（除非概率为 0）。
考点：独立与互斥（B4）。
解析：互斥（不同时发生）必不独立（）——两概念正交。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：独立看乘法、互斥看交集空。
关联 · 独立与互斥混淆（H3）：易错点。
52 张扑克抽 1 张，已知抽到红心，它是 K 的概率是？
考点：条件概率计算（B5）。
解析：已知红心（13 张），是 K = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：无条件概率是 。
关联 · 条件概率输出（J1）：代码版。
全概率公式是？（ 是完备划分）
考点：全概率公式（B6）。
解析：完备划分下 ——分情况求和。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：划分必须完备（覆盖全部且互斥）。
关联 · 贝叶斯思想（B7）：逆用。
判断题：贝叶斯公式 ——"由果推因"，是全概率公式的逆用。
考点：贝叶斯思想（B7）。
解析：贝叶斯 = "由果推因"——已知结果反推各原因的概率。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：分母用全概率公式。
关联 · 全概率公式（B6）：正用与逆用。
几何概型的定义是？
考点：几何概型的定义（C1）。
解析：无限基本事件、等可能体现在测度上——概率 = 有利测度 ÷ 总测度。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：测度 = 长度/面积/体积，按题选。
关联 · 与古典概型的对比（C4）：数个数 vs 比测度。
在 上随机取一点，落在 内的概率是？
考点：线段几何概型（C2）。
解析： 落 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：线段用长度比。
关联 · 线段几何概型（K1）：代码版。
边长为 1 的正方形内随机取点，落在内切圆内的概率是？
考点：面积几何概型（C3）。
解析：内切圆面积 ÷ 正方形 1 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：圆用面积比（不是半径比）。
关联 · 面积几何概型（K2）：代码版。
判断题：古典概型数基本事件个数、几何概型比测度——本质都是"有利 ÷ 全部"。
考点：与古典概型的对比（C4）。
解析：古典数个数、几何比测度——本质都是"有利 ÷ 全部"。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：连续量必须用测度（数不清个数）。
关联 · 几何与古典对比（K7）：代码版。
长度为 2 的线段上随机取一点，距两端距离都大于 的概率是？
考点：几何概型计算（C5）。
解析：距两端都 = 中间长度 ÷ 总长 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：先定"有利区间"再比长度。
关联 · 几何概型填空（K4）：代码版。
两人在 0~60 分钟内独立随机到达，先到者等 10 分钟——两人能见面的概率是？
考点：会面问题（C6）。
解析：见面概率 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：不见面 = 两人到达差 分钟（正方形减带）。
关联 · 会面问题（K3）：代码版。
判断题：几何概型的"等可能"指测度均匀——同一问题选不同测度（长度 vs 角度）可能得到不同答案，必须按题意选测度。
考点：几何概型综合（C7）。
解析："等可能"随测度而变——同题用长度 vs 角度可能不同解，必须按题意选测度。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：贝特朗悖论即此坑。
关联 · 几何概型的定义（C1）：测度选择。
离散随机变量 的期望定义是？
考点：期望的定义（D1）。
解析：——取值 × 概率求和。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：不是简单相加（漏乘概率见 P4）。
关联 · 期望计算输出（L1）：代码版。
判断题： 恒成立（不需要 X、Y 独立）——期望的线性性是它最强大的性质。
考点：期望的线性性（D2）。
解析： 恒成立（不需要独立）——期望最强性质。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：对比 需要独立（D6）。
关联 · 期望线性性（H4）：易错点。
判断题：期望是"概率加权平均"——大量重复实验的结果平均值趋近于期望（大数定律）。
考点：期望与平均数（D3）。
解析：期望 = 概率加权平均；大数定律保证大量重复后平均值趋近期望。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：期望是理论值、平均值是实验值。
关联 · 大数模拟（N6）：频率趋近概率。
掷一颗均匀骰子的点数期望是？
考点：期望计算实例（D4）。
解析：骰子期望 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：期望不必是可能取值（3.5 掷不出来）。
关联 · 掷骰子期望（L1）：代码版。
判断题：（ 为常数）、——常数可提出、常数的期望是它自己。
考点：期望的常数性质（D5）。
解析：、——常数可提出。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：线性性的两个特例。
关联 · 期望的线性性（D2）：性质族。
判断题：X、Y 独立时 ——注意独立性是必要条件（线性性则不需要）。
考点：独立时的期望乘积（D6）。
解析：独立时 ——独立是必要条件（与线性性不同）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：两性质的条件差异是高频考点。
关联 · 独立期望乘积（M4）：代码版。
掷两颗均匀骰子，点数之和的期望是？
考点：期望综合（D7）。
解析：两骰子和的期望 = （线性性）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：不必数 36 种组合——线性性一步到位。
关联 · 线性性输出（L2）：代码版。
判断题：掷一颗骰子直到掷出 6 为止，期望掷的次数是 6——几何分布期望 。
考点：掷骰子期望（E1）。
解析：掷到 6 的期望次数 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：几何分布的直觉——概率 1/6，平均 6 次。
关联 · 几何分布期望（E3）：公式来源。
每次抽奖中奖概率 （独立），抽到中奖的期望次数是？
考点：抽奖期望（E2）。
解析：中奖率 → 期望 10 次。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：期望不是"一定 10 次"，是平均。
关联 · 抽奖期望（M1）：代码版。
几何分布（每次成功概率 ，直到第一次成功）的期望是？
考点：几何分布期望（E3）。
解析：每次成功概率 、直到首次成功——期望 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点： 越小期望越大（越难等越久）。
关联 · 几何分布期望（L4）：代码版。
判断题：等概率向左/向右一步的随机游走， 步后期望位置是起点——对称性使期望位移为 0。
考点：期望与随机游走（E4）。
解析：对称随机游走每步期望位移 0 → 步后期望位置 = 起点。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：期望位置 ≠ 典型位置（方差在增大）。
关联 · 随机游走期望（M2）：代码版。
判断题：期望 DP 的套路 = 设状态 为"从 x 到终点的期望代价"，按全期望公式列方程转移。
考点：期望与 DP（E5）。
解析：期望 DP = 状态存"到终点的期望代价"，按全期望公式转移。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：转移 = 各后继期望 × 概率之和 + 本步代价。
关联 · 期望 DP（M3）：代码版。
判断题：期望的线性性允许把复杂期望拆成若干简单期望之和——如"掷骰子直到集齐 6 面的期望次数"可拆成 6 个几何分布之和。
考点：期望应用综合（E6）。
解析：线性性拆复杂期望——集齐 6 面 = 6 个几何分布之和 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：每阶段"新面"概率递减。
关联 · 集齐 6 面（M3）：代码版。
从 5 个球（3 红 2 白）中随机取 2 个，两个都是红的概率是？
考点：计数求概率（F1）。
解析：。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点： 是"有放回"的答案——本题无放回。
关联 · 组合概率（N1）：代码版。
掷一颗骰子，掷出的点数被 2 或 3 整除的概率是？
考点：容斥求概率（F2）。
解析：被 2 或 3 整除 = 点数 {2,3,4,6} = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：6 同时被 2、3 整除只数一次。
关联 · 容斥概率（N2）：代码版。
4 封信随机装 4 个信封，全部装错的概率是？
考点：错排概率（F3）。
解析：。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：错排概率随 n 增大趋近 。
关联 · 错排概率（N3）：代码版。
判断题：随机生成 对括号序列，合法序列占比 = 卡特兰数 ÷ 总序列数——概率与计数同源。
考点：卡特兰与概率（F4）。
解析：合法括号占比 = 卡特兰数 ÷ 总数——概率与计数同源。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：总序列数 （n 个左括号的位置）。
关联 · 卡特兰与概率（J 组 25 章 D4）：衔接。
掷 3 枚均匀硬币，恰好 2 枚正面的概率是？
考点：组合概率（F5）。
解析：。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：二项分布特例（p=1/2）。
关联 · 二项分布（G3）：特例。
判断题：概率题的通用流程 = 先计数（有利/总数）再相除——计数方法（组合/容斥/错排/卡特兰）直接决定概率值。
考点：综合（F6）。
解析：概率题流程 = 先计数再相除——计数方法决定概率值。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：概率与计数的桥梁是古典概型。
关联 · 计数与概率（J 组 25 章 G4）：衔接。
判断题：随机变量 = 把随机实验结果映射到实数的函数——如"骰子点数"X 取值 1~6。
考点：随机变量（G1）。
解析：随机变量 = 实验结果到实数的映射（骰子点数 X ∈ 1~6）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：变量"随机"在于取值随机。
关联 · 离散分布（G2）：分布描述。
判断题：离散分布用"取值 + 概率"表描述——所有概率之和必为 1。
考点：离散分布（G2）。
解析：离散分布 = 取值 + 概率表，概率和 = 1。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：概率和 = 1 是自检手段。
关联 · 随机变量（G1）：描述对象。
次独立实验、每次成功概率 ，恰 次成功的概率是？
考点：二项分布（G3）。
解析：。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点： 次独立同分布实验的成功次数。
关联 · 二项分布概率（N4）：代码版。
判断题：期望公式汇总——二项分布 、几何分布 、均匀骰子 。
考点：期望公式汇总（G4）。
解析：二项 、几何 、均匀骰子 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：三公式背熟可秒杀大量题。
关联 · 期望公式汇总（G4 与 E3/D4）：汇总。
判断题：方差 衡量取值偏离期望的程度——方差越大越"分散"。
考点：方差概念（G5）。
解析：——偏离期望的程度。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：方差 = 平方期望 − 期望平方（计算式）。
关联 · 期望的定义（D1）：方差依赖期望。
判断题：随机变量、分布、期望、方差构成概率论四大概念——竞赛主要用到前三个。
考点：综合（G6）。
解析：随机变量、分布、期望、方差——竞赛主要用前三。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：方差偶见于难题。
关联 · 期望公式汇总（G4）：工具总表。
判断题：算出概率 1.5 或 -0.3 一定是错的——概率必须在 。
考点：概率超出范围（H1）。
解析：概率 1.5 或 -0.3 必错—— 是硬约束。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：算完先查范围。
关联 · 概率的范围（A3）：自查依据。
判断题： 的分母是 （条件事件）——写成 是常见错误。
考点：条件概率分母（H2）。
解析： 分母是 ——写成 是常见错误。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：分母是"已知发生"的那个事件。
关联 · 条件概率的定义（B1）：定义细节。
判断题：互斥的两个事件（概率都 > 0）一定不独立——互斥时 。
考点：独立与互斥混淆（H3）。
解析：互斥（概率 > 0）必不独立——。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：独立/互斥无蕴含关系（除"互斥 ⇒ 不独立"）。
关联 · 独立与互斥（B4）：概念辨析。
判断题： 不需要独立——但 需要独立。
考点：期望线性性（H4）。
解析：线性性恒成立；乘积期望需独立——条件不同别混。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：两性质的适用边界是高频考点。
关联 · 期望的线性性（D2）/ 独立时的期望乘积（D6）：对照。
判断题：以下结论全部正确——"概率 ∈ [0,1]；条件概率分母是条件事件概率；互斥与独立不同；期望线性性恒成立；几何分布期望 1/p"。
考点：综合判断（H5）。
解析：五结论全对——概率范围、条件分母、独立与互斥、线性性、几何分布。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：本章核心结论收官自查。
关联 · 本章全部核心结论：收官综合判断题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷骰子掷出 6 的概率 05 cout << 1 << "/" << 6; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：概率计算输出（I1）。
解析：骰子 6 面等可能，掷出 6 = 1/6。正确答案 A。
实现要点：概率 = 有利 ÷ 总数。手算：1 面 ÷ 6 面。
排除法：B 是倒数；C/D 无依据。
关联 · 概率公式（A2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷骰子掷不出 6 的概率 = 1 - 1/6 05 cout << 5 << "/" << 6; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：对立事件输出（I2）。
解析：掷不出 6 = 。正确答案 A。
实现要点：对立事件 = 1 − 原概率。手算：其余 5 面。
排除法：B 是原事件；C/D 无依据。
关联 · 对立事件（A4）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷骰子掷出 1 或 2（互斥）的概率 = 1/6 + 1/6 05 cout << 2 << "/" << 6; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：互斥加法输出（I3）。
解析：掷出 1 或 2 = 。正确答案 A。
实现要点：互斥事件概率相加。手算：两面 ÷ 六面。
排除法：B 单面；C/D 无依据。
关联 · 互斥事件的加法（A5）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷骰子点数被 2 或 3 整除：P(被2) + P(被3) - P(被6) 05 // = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 06 cout << 4 << "/" << 6; 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：一般加法输出（I4）。
解析：（6 被数两次减一次）。正确答案 A。
实现要点：一般加法 = 相加减交。手算：点数 {2,3,4,6}。
排除法：B 忘减交；C/D 无依据。
关联 · 一般加法公式（A6）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int favorable = 3, total = 6; // 掷骰子掷出奇数（1、3、5） 05 cout << favorable << "/" << ______; 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 3/6）
考点：概率填空（I5）。
解析：分母 total。正确答案 A。
实现要点：概率分式 = 有利/总数。手算：3 奇面 ÷ 6 面。
排除法：B 分子分母倒；C/D 无依据。
关联 · 概率公式（A2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 两骰子和为 7：有利 (1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) 共 6 种，总数 36 05 cout << 6 << "/" << 36; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：古典概型综合（I6）。
解析：两骰子和 7：6 种 ÷ 36 种 = 6/36。正确答案 A。
实现要点：枚举有利数对。手算：(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1)。
排除法：B 是约分后（值同但非本题输出）；C/D 无依据。
关联 · 计数求概率（F1）：枚举计数。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 已知红心（13 张），是 K 的概率 = 1/13 05 cout << 1 << "/" << 13; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：条件概率输出（J1）。
解析：已知红心，是 K = 。正确答案 A。
实现要点：条件概率 = 条件集合内有利数 ÷ 条件集合大小。手算：13 张红心 1 张 K。
排除法：B 是无条件概率；C/D 无依据。
关联 · 条件概率计算（B5）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 袋中 3 红 2 白，不放回取 2 个都红： 05 // P = 3/5 × 2/4 06 cout << 3 * 2 << "/" << 5 * 4; 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：乘法公式输出（J2）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：不放回 = 逐次条件概率相乘。手算：第一红 3/5、第二红 2/4。
排除法：B 忘了第二分母减 1；C 只算一步；D 是有放回。
关联 · 乘法公式（B2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷两次骰子都掷出 6：独立 → 概率相乘 05 cout << 1 * 1 << "/" << 6 * 6; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：独立判定输出（J3）。
解析：两次都 6 = 。正确答案 A。
实现要点：独立事件概率相乘。手算：36 种等可能中 1 种。
排除法：B 是 2/12 错；C/D 无依据。
关联 · 独立事件（B3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 3 枚硬币全正面：独立连乘 (1/2)^3 05 cout << 1 << "/" << 8; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：独立事件概率（J4）。
解析：3 枚全正 = 。正确答案 A。
实现要点：独立连乘。手算：8 种等可能中 1 种。
排除法：B 单枚；C/D 无依据。
关联 · 独立判定输出（J3）：同法双题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // P(A|B) = P(A∩B) / ______ 05 cout << "P(B)"; 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（条件概率的分母）
考点：条件概率填空（J5）。
解析：分母 P(B)（条件事件）。正确答案 A。
实现要点：。手算：确认分母。
排除法：B 分母错；C/D 无依据。
关联 · 条件概率分母（H2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 两个孩子的家庭，已知一个是男孩，另一个也是男孩的概率 05 // 样本空间：BB、BG、GB（GG 排除）→ BB 占 1/3 06 cout << 1 << "/" << 3; 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：条件概率综合（J6）。
解析：样本空间 BB/BG/GB，BB 占 。正确答案 A。
实现要点：条件缩小样本空间再数。手算：排除 GG 后 3 种中 1 种。
排除法：B 是"另一个孩子"独立视角（错）；C/D 无依据。
关联 · 条件概率计算（B5）：经典题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // [0,10] 随机取点落在 [0,3]：长度比 3/10 05 cout << 3 << "/" << 10; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：线段几何概型（K1）。
解析： 落 = 长度比 。正确答案 A。
实现要点：线段几何概型 = 有利长度 ÷ 总长。手算：3 ÷ 10。
排除法：B 是区间比倒数；C/D 无依据。
关联 · 线段几何概型（C2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 边长 1 正方形内切圆：面积比 π/4 05 cout << "pi/4"; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：面积几何概型（K2）。
解析：圆面积 ÷ 正方形 1。正确答案 A。
实现要点：面积比。手算：圆半径 1/2 → 面积 π/4。
排除法：B 是周长；C/D 无依据。
关联 · 面积几何概型（C3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 0~60 分钟到达，等 10 分钟：见面概率 = 1 - (50/60)^2 = 11/36 05 cout << 11 << "/" << 36; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：会面问题（K3）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：不见面 = 到达差 > 10（两个三角形面积）。手算：正方形减带。
排除法：B 是 10/60；C 是不见面概率；D 无依据。
关联 · 会面问题（C6）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 长度 2 的线段，距两端都 > 1/2：中间长度 ______ ÷ 总长 2 05 cout << 1 << "/" << 2; 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 1/2）
考点：几何概型填空（K4）。
解析：中间长度 1 ÷ 总长 2。正确答案 A。
实现要点：距两端都 > 1/2 → 中间 [0.5, 1.5]。手算：长度 1。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 几何概型计算（C5）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 半径 1 圆内随机点落在半径 1/2 同心圆内：面积比 (1/2)^2 = 1/4 05 cout << 1 << "/" << 4; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：测度比输出（K5）。
解析：面积比 = 。正确答案 A。
实现要点：圆内点用面积比（半径比要平方）。手算：半径 1/2 → 面积 1/4。
排除法：B 是半径比；C/D 无依据。
关联 · 几何概型单位错（P5）：错误对照。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // [0, 1] 随机取两点 x、y，x + y <= 1 的概率 = 三角形面积 1/2 ÷ 正方形 1 05 cout << 1 << "/" << 2; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：几何概型综合（K6）。
解析： 三角形面积 ÷ 1。正确答案 A。
实现要点：区域面积比。手算：正方形下半三角。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 面积几何概型（K2）：区域型。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 古典：数个数（6 面）；几何：比测度（长度/面积） 05 cout << "count vs measure"; 06 return 0; 07}
判断题：古典概型数基本事件个数、几何概型比测度——本质都是"有利 ÷ 全部"。
考点：几何与古典对比（K7）。
解析：古典数个数、几何比测度——本质"有利 ÷ 全部"。✅ 正确
实现要点：连续量必须比测度。手算：对照两类问题。
排除法：无（判断题）。混淆点：连续与离散的分野。
关联 · 与古典概型的对比（C4）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 骰子期望 = (1+2+3+4+5+6)/6 05 cout << 21 << "/" << 6; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：期望计算输出（L1）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：期望 = 取值 × 概率求和。手算：和 21 ÷ 6。
排除法：B 是下取整；C/D 无依据。
关联 · 期望的定义（D1）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 两骰子和的期望 = 3.5 + 3.5 05 cout << 7; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：线性性输出（L2）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：线性性拆期望。手算：两骰各 3.5。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 期望的线性性（D2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // n 面均匀骰子期望 = (1+n)/2，n = 6 05 cout << (1 + 6) * 6 / 2 << "/" << 6; // 21/6 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：骰子期望（L3）。
解析： 公式，n=6 → 。正确答案 A。
实现要点：均匀分布期望 = 端点平均。手算：。
排除法：B 是 3.5 的另一种写法；C/D 无依据。
关联 · 期望公式汇总（G4）：均匀期望。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷到 6 的期望次数 = 1/p = 6 05 cout << 6; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：几何分布期望（L4）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：几何分布期望公式。手算：概率 1/6 → 6 次。
排除法：B 是概率；C/D 无依据。
关联 · 几何分布期望（E3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // E(X) = Σ x·P(x)：三个取值 1、2、3 概率各 1/3 05 cout << (1 + 2 + 3) / ______; 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 2）
考点：期望填空（L5）。
解析：除以 3（取值个数）。正确答案 A。
实现要点：等概率期望 = 算术平均。手算：(1+2+3)/3 = 2。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 期望计算输出（L1）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 10 张奖券 1 张中奖，抽到中奖的期望次数 = 10 05 cout << 10; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：期望综合（L6）。
解析：10 张奖券 1 张中奖 → 期望 10 次。正确答案 A。
实现要点：几何分布 。手算：。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 抽奖期望（E2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 每次中奖率 1/4，抽到中奖期望次数 = 4 05 cout << 4; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：抽奖期望（M1）。
解析：中奖率 → 期望 4 次。正确答案 A。
实现要点：几何分布 。手算：。
排除法：B 是概率；C/D 无依据。
关联 · 抽奖期望（E2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 等概率 ±1 游走，2 步后的期望位置 = 0 05 cout << 0; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：随机游走期望（M2）。
解析：对称游走每步期望位移 0 → 2 步后 0。正确答案 A。
实现要点：线性性：。手算：对称抵消。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 期望与随机游走（E4）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷骰子集齐 6 面期望次数 = 6 × (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6) 05 // = 6 × 49/20 = 14.7 06 double e = 6.0 * (1.0 + 1.0 / 2 + 1.0 / 3 + 1.0 / 4 + 1.0 / 5 + 1.0 / 6); 07 cout << (int)(e * 10); // 放大 10 倍取整 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？（14.7 × 10 = 147）
考点：期望 DP（M3）。
解析：，×10 = 147。正确答案 A。
实现要点：集齐问题拆成 6 个几何分布（线性性）。手算：各阶段新面概率 6/6、5/6、…、1/6。
排除法：B 忘了乘 10；C 乘 100；D 无依据。
关联 · 期望应用综合（E6）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 两个独立骰子点数乘积的期望 = 3.5 × 3.5 = 12.25 05 cout << 49 << "/" << 4; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：独立期望乘积（M4）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：独立时 。手算：。
排除法：B 分母错；C/D 无依据。
关联 · 独立时的期望乘积（D6）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 几何分布 E = 1/p 05 double p = 0.25; 06 cout << 1 / ______; 07 return 0; 08}
单选题：横线处应填入？（使输出为 4）
考点：应用填空（M5）。
解析：p（）。正确答案 A。
实现要点：几何分布期望公式。手算：1/0.25 = 4。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 几何分布期望（E3）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 20 次独立实验、每次成功概率 0.5，成功次数的期望 = 20 × 0.5 05 cout << 10; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：应用综合（M6）。
解析：二项期望 。正确答案 A。
实现要点：二项分布期望公式。手算：成功次数平均。
排除法：B 是 n；C 是 n/4；D 无依据。
关联 · 期望公式汇总（G4）：二项期望。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03long long C(int n, int k) { 04 long long r = 1; 05 for (int i = 0; i < k; i++) r = r * (n - i) / (i + 1); 06 return r; 07} 08int main() { 09 // 3 红 2 白取 2 个都红 = C(3,2)/C(5,2) = 3/10 10 cout << C(3, 2) << "/" << C(5, 2); 11 return 0; 12}
单选题：程序输出是？
考点：组合概率（N1）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：计数求概率。手算：3 ÷ 10。
排除法：B 是有放回近似；C/D 无依据。
关联 · 计数求概率（F1）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 骰子被 2 或 3 整除：点数 {2,3,4,6} 共 4 个 05 cout << 4 << "/" << 6; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：容斥概率（N2）。
解析：点数 {2,3,4,6} = 。正确答案 A。
实现要点：容斥或直接枚举。手算：数 4 个点数。
排除法：B 数了 5；C/D 无依据。
关联 · 容斥求概率（F2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 4 封全错 = D(4)/4! = 9/24 05 cout << 9 << "/" << 24; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：错排概率（N3）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：错排数 ÷ 全排列数。手算：D(4) = 9。
排除法：B 是 ；C/D 无依据。
关联 · 错排概率（F3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03long long C(int n, int k) { 04 long long r = 1; 05 for (int i = 0; i < k; i++) r = r * (n - i) / (i + 1); 06 return r; 07} 08int main() { 09 // 5 次独立实验每次成功 1/2，恰 3 次成功 = C(5,3)/2^5 = 10/32 10 cout << C(5, 3) << "/" << 32; 11 return 0; 12}
单选题：程序输出是？
考点：二项分布概率（N4）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：二项分布公式（p=1/2 简化）。手算：C(5,3) = 10。
排除法：B 分母错；C/D 无依据。
关联 · 二项分布（G3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 52 张牌抽 1 张是红心或 K： 05 // P(红心) + P(K) - P(红心K) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 06 cout << 16 << "/" << 52; 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：综合概率（N5）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：一般加法（红心与 K 有重叠）。手算：红心 K 数一次。
排除法：B 加了两遍重叠；C/D 无依据。
关联 · 一般加法公式（A6）：应用版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 模拟掷骰子 6000000 次，统计 6 的次数约为 1000000 05 int n = 6000000; 06 int cnt = n / 6; // 期望次数 07 cout << cnt; 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？（大数定律：频率趋近概率 1/6）
考点：大数模拟（N6）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：大数定律——频率趋近概率。手算：期望次数。
排除法：B 是总数；C/D 无依据。
关联 · 期望与平均数（D3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int favorable = 3, total = 6; 05 cout << favorable << "/" << ______; // P = 有利/总数 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 3/6）
考点：概率公式填空（O1）。
解析：分母 total。正确答案 A。
实现要点：有利/总数。手算：3/6。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 概率公式（A2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // P(A|B) = P(A∩B) / P(B) 05 int pAB = 1, pB = 4; // 52 张牌：红心K ∩ K 有 1 张？——红心K 是 1 张，K 共 4 张 06 cout << pAB << "/" << ______; 07 return 0; 08}
单选题：横线处应填入？（已知是 K，是红心 K 的概率 = 1/4）
考点：条件概率填空（O2）。
解析：分母 pB（条件事件 K 的个数）。正确答案 A。
实现要点：已知是 K（4 张），是红心 K（1 张）→ 1/4。手算：1 ÷ 4。
排除法：B 分母错；C 是总数；D 无依据。
关联 · 条件概率的分母（H2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // [0,10] 取点落在 [0,3]：有利长度 ÷ 总长度 05 cout << 3 << "/" << ______; 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 3/10）
考点：几何概型填空（O3）。
解析：总长 10。正确答案 A。
实现要点：长度比 3/10。手算：3 ÷ 10。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 线段几何概型（C2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 取值 1、2、3 各概率 1/3：E = (1+2+3)/3 05 cout << (1 + 2 + 3) / ______; 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 2）
考点：期望填空（O4）。
解析：除以 3。正确答案 A。
实现要点：等概率算术平均。手算：6/3 = 2。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 期望的定义（D1）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // E(X+Y) = E(X) + E(Y)：两骰子和 05 cout << 3.5 + ______; 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 7）
考点：期望线性性填空（O5）。
解析：3.5。正确答案 A。
实现要点：。手算：3.5+3.5 = 7。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 期望的线性性（D2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 独立事件：P(A∩B) = P(A) × P(B) 05 cout << 1.0 / 6 * ______; // 两次都掷出 6 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 0.0277778，即 1/36）
考点：独立事件填空（O6）。
解析：1.0 / 6（第二个骰子概率）。正确答案 A。
实现要点：独立相乘。手算：1/36 ≈ 0.02778。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 独立事件（B3）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 掷骰子直到 6：期望次数 = 1/p 05 double p = 1.0 / 6; 06 cout << 1 / ______; 07 return 0; 08}
单选题：横线处应填入？（使输出为 6）
考点：综合填空（O7）。
解析：p（）。正确答案 A。
实现要点：几何分布期望。手算：1/(1/6) = 6。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 几何分布期望（E3）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 错误示范：概率写成 6/36 未约分（答案一般要求最简分数 1/6） 05 cout << 6 << "/" << 36; 06 return 0; 07}
判断题：答案写 6/36 与 1/6 数值相等，但竞赛答案通常要求最简分数——未约分可能被扣分。
考点：概率未约分（P1）。
解析：6/36 与 1/6 数值相等，但竞赛要求最简分数。✅ 正确
实现要点：答案写最简分数。手算：约分。
排除法：无（判断题）。混淆点：数值对但格式分。
关联 · 概率公式（A2）：答题规范。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 错误：P(A|B) 的分母写成 P(A) = 13/52 而非 P(B) = 4/52 05 // 已知是 K（4 张），是红心 K（1 张）→ 正确 1/4 06 cout << 1 << "/" << 4; 07 return 0; 08}
判断题：已知抽到 K，是红心 K 的概率 = 1/4（4 张 K 中 1 张红心）——分母是条件事件"抽到 K"的概率对应集合大小，不是全牌数。
考点：条件概率分母错（P2）。
解析：已知 K，是红心 K = 1/4——分母是条件集合大小（4 张 K）。✅ 正确
实现要点：条件概率在"条件世界"里数。手算：4 张 K 中 1 张红心。
排除法：无（判断题）。混淆点：无条件概率是 1/52。
关联 · 条件概率分母（H2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 错误：掷骰子事件 A"奇数"、B"点数 ≤ 3" 不独立 05 // P(A)=1/2, P(B)=1/2, P(A∩B)=P({1,3})=1/3 ≠ 1/4 06 cout << "NOT-INDEPENDENT"; 07 return 0; 08}
判断题：A"掷出奇数"与 B"点数 ≤ 3"不独立（）——有重叠的事件别想当然当独立。
考点：独立误判（P3）。
解析：奇数 ∩ ≤3 = {1,3} 概率 1/3 ≠ 1/4——不独立。✅ 正确
实现要点：独立判定 = 验证 。手算：1/3 vs 1/4。
排除法：无（判断题）。混淆点：有交集别想当然当独立。
关联 · 独立与互斥（B4）：错误示范。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 错误：期望 = Σ x·P(x)，漏乘概率直接加取值 → 得 6 而非 3.5 05 cout << 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6; // 错误示范 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？（漏乘 1/6 的错误结果；正确期望是 3.5）
考点：期望漏乘概率（P4）。
解析：漏乘 1/6 直接加得 21（正确 3.5）。正确答案 A。
实现要点：期望 = Σ x·P(x)——概率不可省。手算：21 × 1/6。
排除法：B 是正确值；C/D 无依据。
关联 · 期望的定义（D1）：错误示范。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 错误：半径 1 圆内落在半径 1/2 圆内，误用半径比 1/2（正确面积比 1/4） 05 cout << 1 << "/" << 2; 06 return 0; 07}
判断题：圆内随机点用面积比（半径比要平方：）——用半径比 1/2 是几何概型的经典错误。
考点：几何概型单位错（P5）。
解析：圆内点用面积比（半径比要平方）——1/2 是经典错误。✅ 正确
实现要点：测度选择 = 题目几何量。手算：。
排除法：无（判断题）。混淆点：长度、面积、体积别混。
关联 · 几何概型单位错（P5 与 C3）：错误示范。
判断题：以下结论全部正确——"概率在 [0,1]；条件概率分母是条件事件；独立事件概率相乘；期望线性性恒成立；几何概型比测度"。
考点：综合判断（P6）。
解析：五结论全对——概率范围、条件分母、独立相乘、线性性、测度比。✅ 正确
实现要点：本章五大核心结论收官自查。手算：逐条对照本章代码。
排除法：无（判断题）。混淆点：数学板块最后一卷——概率期望收官。
关联 · 本章全部核心结论：收官综合判断题。