同余方程组的一般形式是？
考点：同余方程组的形式（A1）。
解析：方程组 = 多个同余式同时成立：（）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：与线性方程 不同——这里是"余数条件"组。
关联 · 中国剩余定理的表述（A4）：定理对象。
中国剩余定理（CRT）处理的是哪种方程组？
考点：模互质的情形（A2）。
解析：CRT 处理模数两两互质的方程组——这是定理成立的前提。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：模任意（非互质）需要推广的逐对合并（D 组）。
关联 · 非互质情形（D1）：推广方向。
模数两两互质时，同余方程组的解在模多少下唯一？
考点：解的周期（A3）。
解析：互质时解在模 下唯一——解集是周期 的等差数列。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：非互质时周期是 lcm（D4）。
关联 · 解的唯一性（A6）：唯一性的含义。
中国剩余定理的结论是？
考点：中国剩余定理的表述（A4）。
解析：模两两互质 → 方程组恒有解且解模 唯一。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：存在性 + 唯一性是定理的两半。
关联 · 解的存在性（C7）：存在性保证。
《孙子算经》"物不知数"问题：一个数除以 3 余 2、除以 5 余 3、除以 7 余 2，这个数最小是？
考点：物不知数（A5）。
解析：《孙子算经》：除 3 余 2、除 5 余 3、除 7 余 2 → 最小解 23。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：105 是周期、233 是 23+2×105、128 是另一错误值。
关联 · 物不知数构造（B7）：CRT 构造。
判断题：CRT 解的唯一性是"模 意义下"的——所有解构成模 的一个同余类（解相差 的倍数）。
考点：解的唯一性（A6）。
解析："唯一"是模 意义下—— 与 都算"同一个解"（同余类）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：答"唯一解是 23"不严谨，应说"模 105 余 23"。
关联 · 解的模（C4）：唯一性范围。
CRT 构造解的三步骤是？
考点：构造三步骤（B1）。
解析：CRT 构造 = ① ② 与 ③ 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：三步骤顺序不能乱——先 M 再 M_i 再逆元。
关联 · 解的公式（B5）：第③步公式。
模数 （两两互质），CRT 的总模数 是？
考点：总模数 M（B2）。
解析：模 3、5、7 的 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：M 是乘积不是 lcm（互质时两者相等）。
关联 · 解的模（C4）：M 即解周期。
（模数 3、5、7），对应的 是？
考点：分量模数 M_i（B3）。
解析：。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点： 含除 外的所有因子——这是"抵消"的关键。
关联 · 构造验证（B6）：抵消原理。
物不知数问题中，， 等于？
考点：逆元 t_i（B4）。
解析：，（）→ 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：逆元按各 m_i 求，不是按 M。
关联 · 逆元的作用（F3）：抵消系数。
CRT 的解的公式是？
考点：解的公式（B5）。
解析：——每项在"自己的模"下留 、在别的模下归零。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：不是 、不是 。
关联 · 构造三步骤（B1）：公式即第③步。
判断题：CRT 构造有效的原因——对第 个模数， 在 时被 整除（ 含因子 ）、在 时 ——代入第 个方程只剩 项。
考点：构造验证（B6）。
解析：模 下： 时 （ 含因子 ）→ 项归零； 时 → 项 = 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：这是 CRT 正确性的完整论证。
关联 · 解的公式（B5）：公式为何有效。
物不知数（模 3、5、7）的 CRT 构造：，代入模 105 得？
考点：物不知数构造（B7）。
解析：。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：233 是构造原始和，取模后才是最小正解。
关联 · 物不知数输出（J1）：代码版。
解 ，最小正整数解是？
考点：两方程合并（C1）。
解析：、 → 枚举/CRT 得 7。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：22 是同余的更大解。
关联 · 两方程 CRT 代码（I1）：代码版。
解 ，最小正整数解是？
考点：三方程计算（C2）。
解析：、、 → CRT 得 127。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：，127 是 内的唯一解。
关联 · 三方程 CRT 输出（J2）：代码版。
CRT 求出解 ，最小正整数解是？
考点：最小正整数解（C3）。
解析：——取模得最小正代表。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：233 也是解但不"最小"。
关联 · 最小解（N3）：代码版。
判断题：CRT 的全部解是 （ 整数）——一个解加减 仍满足所有方程。
考点：解的模（C4）。
解析：全部解 = ——加周期 不改变任何余数。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：周期性是"模 M 唯一"的另一说法。
关联 · 解的周期性（N4）：代码验证。
解 ——注意 3 与 4 互质，最小正整数解是？
考点：计算实例（C5）。
解析：、 → 枚举得 10（、）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：3 与 4 互质，可用 CRT 公式。
关联 · 两方程合并（C1）：同法双题。
判断题：CRT 构造中的逆元 常用 exgcd 求解（ 与 互质保证有解）。
考点：CRT 与 exgcd（C6）。
解析： 用 exgcd 求——互质保证逆元存在。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：CRT 的"齿轮"是 exgcd。
关联 · exgcd 求逆元（M1）：代码版。
判断题：模数两两互质时，同余方程组恒有解——存在性是 CRT 保证的，不需要额外条件。
考点：解的存在性（C7）。
解析：互质 → 恒有解——存在性由 CRT 保证，无需检查。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：非互质才需要可解条件检查。
关联 · 模不互质时的条件（D1）：条件的分野。
模数不互质时，两个方程 、 有解的条件是？
考点：模不互质时的条件（D1）。
解析：、 有解 ⇔ 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点： 是充分不必要；条件本质是模 gcd 同余。
关联 · 矛盾方程组（D3）：条件不满足即矛盾。
判断题：非互质两方程用"代入合并"： 代入第二式解 ——得到模 lcm 的新方程。
考点：两方程合并（D2）。
解析：非互质合并 = 代入法： 代入第二式解 → 得到模 lcm 的新方程。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：合并后模从 变 lcm。
关联 · 非互质两方程合并（K1）：代码版。
的解是？
考点：矛盾方程组（D3）。
解析：（奇）与 （偶）矛盾 → 无解。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：矛盾的判定 = 余数模 gcd 不同余。
关联 · 无解输出（K5）：代码版。
判断题：非互质情形下，方程组（若有解）的解在模 下唯一——比乘积更紧。
考点：解的模为 lcm（D4）。
解析：非互质有解时，解模 唯一——比乘积更紧。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：lcm(4,6) = 12 < 24 = 乘积。
关联 · lcm 输出（K4）：代码版。
解 ，最小正整数解是？
考点：非互质实例（D5）。
解析：、 → 合并得 ，最小正解 10。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：2 不满足（）。
关联 · 非互质求解（K3）：同法双题。
判断题：互质情形公式法一步到位；非互质情形需逐对合并并检查可解条件——后者是前者的推广。
考点：互质与非互质对比（D6）。
解析：互质公式法一步到位；非互质逐对合并 + 可解检查——后者是推广。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：公式法是合并法的特例。
关联 · 通用解法（D7）：统一策略。
处理任意（含非互质）同余方程组的通用策略是？
考点：通用解法（D7）。
解析：任意方程组 = 逐对合并（每步模变 lcm），中途无解即整体无解。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：互质公式只是逐对合并的快车道。
关联 · 通用合并过程（K7）：代码版。
CRT 的经典应用"大数运算分解"是？
考点：大数运算分解（E1）。
解析：模 分解成互质小模数分别算、CRT 合并——化整为零。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：分解的依据是 CRT 的"唯一合并"。
关联 · 大数模分解（L1）：代码版。
判断题：模数 非素数时，可分解 ，各算 再 CRT 合并——这是组合数取模的一般方法。
考点：组合数取模（E2）。
解析：模 非素数 → 分解 各算再 CRT 合并——组合数取模的一般法。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：素数模直接逆元法（22 章），合数模走 CRT。
关联 · 组合数取模 CRT（L2）：代码版。
判断题：（ 很大）可分解模数分别快速幂、再 CRT 合并——各小模数计算更快更安全。
考点：快速幂分解（E3）。
解析： 分解模数分别快速幂再合并——小模数更快更安全。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：与直接模 M 快速幂等价，但防溢出。
关联 · 快速幂分解（L3）：代码版。
判断题：欧拉函数等数论函数可用 CRT 分解计算——互质分解后逐块算再合并。
考点：数论函数计算（E4）。
解析：欧拉函数等可用互质分解逐块算再合并（积性 + CRT）。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：积性函数与 CRT 是数论的孪生工具。
关联 · 数论函数计算（L4）：代码版。
判断题：CRT 与拉格朗日插值同构——"在若干互质模下分别给定取值，唯一确定模乘积的解"恰是"若干点定多项式"的数论版。
考点：CRT 与插值思想（E5）。
解析：CRT ≈ 数论版拉格朗日插值——"若干模下给定取值 → 唯一确定模乘积的解"恰似"若干点定多项式"。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点： 对应插值基函数。
关联 · CRT 与线性代数（G1）：同构视角。
CRT 的典型应用场景是？
考点：应用场景总结（E6）。
解析：CRT 应用 = 大模数分解计算、组合数/快速幂取模、RSA-CRT 加速。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：最短路/字符串/排序与 CRT 无关。
关联 · RSA-CRT 加速（G3）：密码学应用。
判断题：模分解 （）后，""可由""与""唯一确定。
考点：模分解（F1）。
解析：（互质）→ ""由两个小余数唯一确定。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：这是 CRT 的"翻译"方向。
关联 · 各自计算再合并（F2）：分治流程。
判断题：分解模数的流程 = 各小模数下分别计算 → CRT 合并——分而治之。
考点：各自计算再合并（F2）。
解析：分解模数流程 = 各小模数计算 → CRT 合并——分而治之。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：合并是最后一步，别漏。
关联 · 模分解（F1）：同思想双题。
判断题：CRT 公式中 （逆元）的作用是"抵消其他分量"—— 使第 项在模 下正好留下 。
考点：逆元的作用（F3）。
解析： 让第 项在模 下正好留 、在其他模下归零——逆元是"抵消器"。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点： 是设计目标。
关联 · 构造验证（B6）：抵消原理。
判断题： 与 互质（互质模数保证），故 恒可用 exgcd 求出。
考点：exgcd 求逆元回顾（F4）。
解析： 与 互质 → 恒可用 exgcd 求出。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：互质是 CRT 中逆元存在的保障。
关联 · CRT 与 exgcd（C6）：衔接。
CRT 求解 个方程的复杂度主要由什么决定？
考点：计算复杂度（F5）。
解析：CRT 主要代价 = 次求逆元，每次 → 总 。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：不是 枚举——那是暴力。
关联 · 分解模数的优势（F6）：效率来源。
判断题：分解模数的优势 = 小模数运算快、防溢出、可并行——大数难题化整为零。
考点：分解模数的优势（F6）。
解析：分解 = 小模数快、防溢出、可并行——大数难题化整为零。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：优势以 CRT 合并为代价（ 可忽略）。
关联 · 计算复杂度（F5）：合并代价。
判断题：CRT 可视为环同构 （互质时）——数论版的"分解定理"。
考点：CRT 与线性代数（G1）。
解析：互质时环同构 ——数论版分解定理。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：教学定位——理解 CRT 的"结构意义"。
关联 · CRT 的逆过程（G2）：同构的两个方向。
判断题：CRT 的逆过程 = 已知 ，求它模各 的余数——直接取模即可（平凡方向）。
考点：CRT 的逆过程（G2）。
解析：逆过程（ → 各 余数）= 直接取模——平凡方向。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：CRT 难在正方向（合并），逆方向免费。
关联 · CRT 与线性代数（G1）：同构双向。
判断题：RSA 解密用 CRT 加速：模 的解密拆成模 、模 两部分各算再合并——提速约 4 倍。
考点：RSA-CRT 加速（G3）。
解析：RSA 解密模 拆成模 、 各算再 CRT 合并——提速约 4 倍。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：、 互质是 CRT 前提。
关联 · CRT 应用（E6）：密码学应用。
判断题：CRT 思想可推广到多项式——模互质多项式的同余方程组有类似的合并公式（拉格朗日插值是特例）。
考点：多项式 CRT（G4）。
解析：CRT 推广到多项式——模互质多项式有同样合并公式，拉格朗日插值是其特例。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：与 E5 呼应——插值即多项式 CRT。
关联 · CRT 与插值思想（E5）：同构。
判断题：中国剩余定理最早见于《孙子算经》（物不知数），宋代秦九韶给出系统解法（大衍求一术）——早于西方数百年。
考点：历史与文化（G5）。
解析：《孙子算经》物不知数、秦九韶大衍求一术——中国剩余定理早于西方数百年。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：CRT 名字里的"中国"名副其实。
关联 · 物不知数（A5）：历史源头。
判断题：CRT 的核心思想 = "整体难题拆成互质分量分别解，再唯一合并"——分治思想在数论中的体现。
考点：综合总结（G6）。
解析：CRT 核心 = 整体难题拆成互质分量分别解、再唯一合并——分治在数论的体现。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：与算法分治（19 章）思想同源。
关联 · 本章全部核心结论：章节收官。
判断题：模数不互质时直接套互质 CRT 公式会得到错误结果——必须先逐对合并或先判可解条件。
考点：模不互质误用公式（H1）。
解析：不互质时套互质公式 → 逆元可能不存在（）→ 必错。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：先判互质、再选方法（P3）。
关联 · 非互质误用（P3）：错误示范。
判断题：CRT 公式算出 后忘了模 直接报 ——答案不唯一（233 与 23 同余），应取最小正整数解或明确模 。
考点：忘了模 M 取解（H2）。
解析：公式和 233 需模 105 取 23——报 233 丢了"最小正代表"要求。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：233 也是解，但题目通常要最小正解。
关联 · 忘取模 M（P1）：错误示范。
判断题： 是"模 "的逆元——若误算成"模 "的逆元，公式就错了。
考点：逆元求错（H3）。
解析： 是模 的逆元——误按模 求则公式失效。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：每个 对应自己的 。
关联 · 逆元求错（P2）：错误示范。
判断题：非互质合并时若中间同余式无解（如 ），整个方程组无解——漏判会继续算下去得到错误解。
考点：无解情形漏判（H4）。
解析：合并中间式无解（）→ 整体无解——漏判继续算会得错误解。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：可解检查（模 gcd 同余）必须每步做。
关联 · 无解漏判（P5）：错误示范。
判断题：以下结论全部正确——"互质 CRT 恒有解且模乘积唯一；非互质需判 并逐对合并；解取模 （或 lcm）取最小正代表；逆元按各 求"。
考点：综合判断（H5）。
解析：四结论全对：互质恒有解且模乘积唯一；非互质判模 gcd 同余并逐对合并；解取模取最小正代表；逆元按各 求。✅ 正确
排除法：无（判断题）。混淆点：本章核心结论收官自查。
关联 · 本章全部核心结论：收官综合判断题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 解 x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5)：CRT 构造 05 int M = 3 * 5; 06 int M1 = M / 3, M2 = M / 5; // M1 = 5, M2 = 3 07 int t1 = 2; // 5^(-1) mod 3 = 2 08 int t2 = 2; // 3^(-1) mod 5 = 2 09 int x = (1 * M1 * t1 + 2 * M2 * t2) % M; 10 cout << x; 11 return 0; 12}
单选题：程序输出是？
考点：两方程合并输出（I1）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：两方程 CRT = 直接套公式 。手算：。
排除法：B 忘了取模；C/D 无依据。
关联 · 两方程合并（C1）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { 04 if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } 05 int d = exgcd(b, a % b, y, x); 06 y -= a / b * x; 07 return d; 08} 09int main() { 10 int x, y; 11 exgcd(5, 3, x, y); // 求 5 模 3 的逆元 12 cout << ((x % 3) + 3) % 3; 13 return 0; 14}
单选题：程序输出是？
考点：逆元计算输出（I2）。
解析：，。正确答案 A。
实现要点：exgcd 求逆元 = 解 再规范化 x。手算：验证 。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · CRT 与 exgcd（C6）：逆元来源。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5) 05 int M = 15; 06 int x = (1 * 5 * 2 + 2 * 3 * 2) % M; // 10 + 12 = 22 ≡ 7 07 cout << x; 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？
考点：CRT 求解输出（I3）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：与 I1 同式。手算：逐项乘加取模。
排除法：B 是未取模；C/D 无依据。
关联 · 解的公式（B5）：公式直接实现。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int x = 7; 05 cout << (x % 3 == 1 && x % 5 == 2 ? "YES" : "NO"); 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？（验证 7 是否满足 x≡1(mod 3)、x≡2(mod 5)）
考点：验证输出（I4）。
解析：、 → YES。正确答案 A。
实现要点：验证 = 把解代回每个方程。手算：两个余数分别查。
排除法：B 是任一不满足；C/D 无依据。
关联 · 解验证（N2）：验证三方程版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5)，M = 15 05 int M1 = 5, M2 = 3; 06 int t1 = 2, t2 = 2; 07 int x = (1 * M1 * t1 + 2 * M2 * t2) % ______; // 总模数 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：横线处应填入？（使输出为 7）
考点：两方程填空（I5）。
解析：总模数 15。正确答案 A。
实现要点：CRT 最后一步 % M。手算：。
排除法：B/C 是单模数；D 无依据。
关联 · 总模数 M（B2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 解 x ≡ 7 (mod 15) 的全部解：7 + 15k 05 int x0 = 7, M = 15; 06 cout << x0 + M << " " << x0 - M; // 相邻两个解 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：解的模输出（I6）。
解析：、。正确答案 A。
实现要点：全部解 = ——相邻解相差 。手算：加减周期。
排除法：B 符号错；C/D 无依据。
关联 · 解的模（C4）：周期性。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 物不知数：x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) 05 int M = 105; 06 int x = (2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1 + 2 * 15 * 1) % M; // 140 + 63 + 30 = 233 ≡ 23 07 cout << x; 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？
考点：物不知数输出（J1）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：物不知数 = 三方程 CRT 的教科书实例。手算：三组 相加。
排除法：B 忘了取模；C 是周期；D 无依据。
关联 · 物不知数（A5）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 1 (mod 7) 05 int M = 140; 06 // M1=35, t1=3；M2=28, t2=2；M3=20, t3=6 07 int x = (3 * 35 * 3 + 2 * 28 * 2 + 1 * 20 * 6) % M; // 315 + 112 + 120 = 547 ≡ 127 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：程序输出是？
考点：三方程 CRT 输出（J2）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：三方程同公式。手算：验证 、、。
排除法：B 忘了取模；C/D 无依据。
关联 · 三方程计算（C2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7)，M = 105 05 int M1 = 35, M2 = 21, M3 = 15; 06 int t1 = 2, t2 = 1, t3 = 1; 07 int x = (2 * M1 * t1 + 3 * M2 * t2 + 2 * M3 * t3) % ______; 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：横线处应填入？（使输出为 23）
考点：三方程填空（J3）。
解析：总模数 105。正确答案 A。
实现要点：与 J1 同式填空。手算：。
排除法：B/C/D 是单分量模数。
关联 · 总模数 M（B2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int x = 23; 05 cout << (x % 3 == 2 && x % 5 == 3 && x % 7 == 2 ? "YES" : "NO"); 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：验证（J4）。
解析：23 满足三条件 → YES。正确答案 A。
实现要点：三方程验证 = 三个余数分别查。手算：。
排除法：B 是任一不满足；C/D 无依据。
关联 · 解验证（N2）：同构题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int M = 105; 05 int x = 23; 06 int cnt = 0; 07 for (int i = 0; i < 1000; i++) 08 if (i % 105 == x) cnt++; // 0~999 中模 105 余 23 的数 09 cout << cnt; 10 return 0; 11}
单选题：程序输出是？（0~999 中共 1000 个数，模 105 余 23 的个数）
考点：解的范围（J5）。
解析： 中模 105 余 23：23、128、…、968 → 10 个。正确答案 A。
实现要点：周期解计数 = 级别。手算：列出首尾。
排除法：B 漏首或尾；C/D 无依据。
关联 · 解的周期（A3）：解集的分布。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5)，M = 30 05 // M1=15, t1=1；M2=10, t2=1；M3=6, t3=1 06 int x = (1 * 15 * 1 + 2 * 10 * 1 + 3 * 6 * 1) % 30; // 15 + 20 + 18 = 53 ≡ 23 07 cout << x; 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？
考点：三方程另一例（J6）。
解析：。正确答案 A。
实现要点： 全为 1（各 ）的简化情形。手算：验证 。
排除法：B 忘了取模；C 是周期；D 无依据。
关联 · 物不知数输出（J1）：同法双题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 2 (mod 4), x ≡ 4 (mod 6)：代入合并 05 // x = 2 + 4k ≡ 4 (mod 6) → 4k ≡ 2 (mod 6) → 2k ≡ 1 (mod 3) → k ≡ 2 (mod 3) 06 int x = 2 + 4 * 2; // 取 k = 2 07 cout << x; 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？（最小正整数解）
考点：非互质两方程合并（K1）。
解析： 代入 → → → → 。正确答案 A。
实现要点：非互质合并 = 代入法解 。手算：同余式两边同除 gcd 并同步缩模。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 非互质情形（D1）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int a1 = 1, m1 = 2, a2 = 0, m2 = 2; 05 // 判定：a1 与 a2 模 gcd(2,2)=2 是否同余？ 06 int g = 2; 07 cout << (a1 % g == a2 % g ? "SOLVABLE" : "NO-SOLUTION"); 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？
考点：矛盾判定输出（K2）。
解析： → NO-SOLUTION。正确答案 A。
实现要点：可解判定 = 余数模 gcd 是否同余。手算：，1 与 0 模 2 不同余。
排除法：B 是可解；C/D 无依据。
关联 · 矛盾方程组（D3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 3 (mod 6)： 05 // x = 1 + 4k ≡ 3 (mod 6) → 4k ≡ 2 (mod 6) → 2k ≡ 1 (mod 3) → k ≡ 2 (mod 3) 06 int x = 1 + 4 * 2; 07 cout << x; 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？
考点：非互质求解（K3）。
解析： → → → 。正确答案 A。
实现要点：与 K1 同法。手算：验证 、。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 非互质两方程合并（K1）：同法双题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int m = 4, n = 6; 05 cout << m * n / __gcd(m, n); // lcm(4, 6) 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？（非互质合并后解的模）
考点：lcm 输出（K4）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：lcm = 乘积 ÷ gcd。手算：。
排除法：B 是乘积；C 是 gcd；D 无依据。
关联 · 解的模为 lcm（D4）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 4)： 05 // x = 1 + 2k ≡ 2 (mod 4) → 2k ≡ 1 (mod 4)——2k 是偶数，不可能 ≡ 1 06 bool ok = false; 07 for (int k = 0; k < 2; k++) 08 if (2 * k % 4 == 1) ok = true; 09 cout << (ok ? "SOLVABLE" : "NO-SOLUTION"); 10 return 0; 11}
单选题：程序输出是？
考点：无解输出（K5）。
解析： 无解（ 恒偶）→ NO-SOLUTION。正确答案 A。
实现要点：合并中间式无解即整体无解。手算：检查同余式奇偶性。
排除法：B 是漏判；C/D 无依据。
关联 · 无解漏判（P5）：错误示范对照。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ a (mod m), x ≡ b (mod n)：合并条件 05 int a = 2, m = 4, b = 4, n = 6; 06 int g = __gcd(m, n); 07 cout << (______ ? "SOLVABLE" : "NO-SOLUTION"); // 可解条件 08 return 0; 09}
单选题：横线处应填入？（使输出为 SOLVABLE——2 ≡ 4 (mod 2)）
考点：合并填空（K6）。
解析：可解条件 a % g == b % g（）。正确答案 A。
实现要点：非互质合并先判可解。手算：，。
排除法：B 反向；C/D 无依据。
关联 · 模不互质时的条件（D1）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 逐对合并：x ≡ 2 (mod 4) → 与 x ≡ 4 (mod 6) 合并 → x ≡ 10 (mod 12) 05 // → 与 x ≡ 1 (mod 5) 合并：x = 10 + 12k ≡ 1 (mod 5) 06 // → 12k ≡ -9 ≡ 1 (mod 5) → 2k ≡ 1 (mod 5) → k ≡ 3 (mod 5) 07 int x = 10 + 12 * 3; 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：程序输出是？（x ≡ 2 (mod 4)、x ≡ 4 (mod 6)、x ≡ 1 (mod 5) 的最小正整数解）
考点：通用合并过程（K7）。
解析： 与 合并 → → → → 。正确答案 A。
实现要点：逐对合并 = 每步代入解 k、模变 lcm。手算：验证 46 满足三条件。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 通用解法（D7）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 求 100 mod 15：分解 15 = 3 × 5 05 int r3 = 100 % 3, r5 = 100 % 5; 06 // CRT 合并：x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 0 (mod 5) → x = 10 07 int x = (1 * 5 * 2 + 0 * 3 * 2) % 15; 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：程序输出是？（100 mod 15 = 10）
考点：大数模分解（L1）。
解析：、 → CRT 合并得 10。正确答案 A。
实现要点：模分解 = 各小模取余 + CRT 合并。手算：验证 。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 大数运算分解（E1）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // C(5,2) = 10；求 C(5,2) mod 6：分解 6 = 2 × 3 05 // mod 2 = 0，mod 3 = 1；CRT 合并 → x ≡ 4 (mod 6) 06 int r2 = 10 % 2, r3 = 10 % 3; 07 int x = (0 * 3 * 1 + 1 * 2 * 2) % 6; // M1=3,t1=1；M2=2,t2=2 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：程序输出是？（10 mod 6 = 4）
考点：组合数取模 CRT（L2）。
解析：、 → 合并得 4。正确答案 A。
实现要点：合数模组合数 = 分解 + 各算 + CRT。手算：验证 。
排除法：B 忘了取模；C/D 无依据。
关联 · 组合数取模（E2）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03long long qpow(long long a, long long n, long long p) { 04 long long r = 1; 05 a %= p; 06 while (n) { 07 if (n & 1) r = r * a % p; 08 a = a * a % p; 09 n >>= 1; 10 } 11 return r; 12} 13int main() { 14 // 2^10 mod 15：分解 15 = 3 × 5 15 long long r3 = qpow(2, 10, 3), r5 = qpow(2, 10, 5); 16 cout << r3 << " " << r5; 17 return 0; 18}
单选题：程序输出是？（：mod 3 = 1、mod 5 = 4）
考点：快速幂分解（L3）。
解析：（）、（）。输出 1 4。正确答案 A。
实现要点：幂取模可分解模数分别算。手算：找小循环节。
排除法：B 顺序反；C/D 无依据。
关联 · 快速幂分解（E3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // φ(15) = φ(3) × φ(5)（3 与 5 互质，积性） 05 int c3 = 0, c5 = 0; 06 for (int i = 1; i <= 3; i++) if (__gcd(i, 3) == 1) c3++; 07 for (int i = 1; i <= 5; i++) if (__gcd(i, 5) == 1) c5++; 08 cout << c3 * c5; 09 return 0; 10}
单选题：程序输出是？
考点：数论函数计算（L4）。
解析：、 → 。正确答案 A。
实现要点：互质积性 + CRT 分解。手算：互质数统计。
排除法：B 是 15；C/D 无依据。
关联 · 数论函数计算（E4）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5)：CRT 合并 05 int M1 = 5, M2 = 3; 06 int t1 = 2, t2 = 2; 07 int x = (______) % 15; // a1·M1·t1 + a2·M2·t2 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：横线处应填入？（使输出为 8——2·5·2 + 3·3·2 = 20 + 18 = 38 ≡ 8）
考点：应用填空（L5）。
解析：2 * M1 * t1 + 3 * M2 * t2 = 。正确答案 A。
实现要点：CRT 公式的逐项形式 。手算：验证 、。
排除法：B 漏乘 t；C 漏乘 M；D 无依据。
关联 · 解的公式（B5）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 求 2026 mod 77：分解 77 = 7 × 11 05 int r7 = 2026 % 7, r11 = 2026 % 11; 06 // 2026 = 7×289 + 3 → r7 = 3；2026 = 11×184 + 2 → r11 = 2 07 // CRT：x ≡ 3 (mod 7), x ≡ 2 (mod 11)，M = 77 08 // M1 = 11, t1 = 11^(-1) mod 7 = 2；M2 = 7, t2 = 7^(-1) mod 11 = 8 09 int x = (3 * 11 * 2 + 2 * 7 * 8) % 77; // 66 + 112 = 178 ≡ 24 10 cout << x; 11 return 0; 12}
单选题：程序输出是？（2026 mod 77 = 24）
考点：综合应用（L6）。
解析：、 → CRT：。正确答案 A。
实现要点：完整流程 = 分解取余 + 求逆元 + 合并。手算：验证 。
排除法：B 忘了取模；C/D 无依据。
关联 · 大数运算分解（E1）：综合实例。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) { 04 if (b == 0) { x = 1; y = 0; return a; } 05 int d = exgcd(b, a % b, y, x); 06 y -= a / b * x; 07 return d; 08} 09int main() { 10 int x, y; 11 exgcd(11, 7, x, y); // 求 11 模 7 的逆元 12 cout << ((x % 7) + 7) % 7; 13 return 0; 14}
单选题：程序输出是？（11 ≡ 4，4 的逆元是 2——）
考点：exgcd 求逆元（M1）。
解析：，（）。正确答案 A。
实现要点：exgcd 解 后规范化。手算：验证 。
排除法：B 是原值；C/D 无依据。
关联 · exgcd 求逆元（J 组 22 章 K2）：衔接。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03long long qpow(long long a, long long n, long long p) { 04 long long r = 1; 05 a %= p; 06 while (n) { 07 if (n & 1) r = r * a % p; 08 a = a * a % p; 09 n >>= 1; 10 } 11 return r; 12} 13int main() { 14 cout << qpow(7, 9, 11); // 7 模 11 的逆元 = 7^(11-2) = 7^9 15 return 0; 16}
单选题：程序输出是？（7 × 8 = 56 ≡ 1 (mod 11)，故逆元为 8）
考点：费马求逆元（M2）。
解析：（）。正确答案 A。
实现要点：素数模用费马 。手算：验证 。
排除法：B 是底数；C/D 无依据。
关联 · 费马求逆元（J 组 22 章 K1）：衔接。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // CRT 中 t1 = M1^(-1) mod m1：35^(-1) mod 3 05 // 35 ≡ 2 (mod 3)，2 的逆元是 2 06 cout << 2; 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：逆元在 CRT 中（M3）。
解析： → 。正确答案 A。
实现要点：CRT 的 先化简再求逆。手算：。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 逆元的作用（F3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int M = 105; 05 int m[3] = {3, 5, 7}; 06 for (int i = 0; i < 3; i++) cout << M / m[i] << " "; // M_i = M / m_i 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：M_i 计算（M4）。
解析：、、。正确答案 A。
实现要点：——去掉自己的因子。手算：逐个除。
排除法：B 是模数本身；C/D 无依据。
关联 · 分量模数 M_i（B3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // t_i = M_i^(-1) mod m_i 05 // t1: 35 ≡ 2 (mod 3) → 2^(-1) = 2 06 // t2: 21 ≡ 1 (mod 5) → 1^(-1) = 1 07 // t3: 15 ≡ 1 (mod 7) → 1^(-1) = 1 08 cout << 2 << " " << 1 << " " << 1; 09 return 0; 10}
单选题：程序输出是？
考点：t_i 计算（M5）。
解析：（35≡2、2⁻¹=2）、、。正确答案 A。
实现要点：逐分量化简求逆。手算：、。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 逆元 t_i（B4）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // CRT 全流程：x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) 05 int M = 105; 06 int x = 0; 07 x += 2 * 35 * 2; // a1·M1·t1 08 x += 3 * 21 * 1; // a2·M2·t2 09 x += 2 * 15 * 1; // a3·M3·t3 10 x %= M; 11 cout << x; 12 return 0; 13}
单选题：程序输出是？
考点：综合计算（M6）。
解析：三组 累加取模 → 23。正确答案 A。
实现要点：CRT 全流程代码化。手算：逐项累加。
排除法：B 忘了取模；C/D 无依据。
关联 · 物不知数输出（J1）：同构题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 2 (mod 5), x ≡ 3 (mod 7) 05 // M = 105, M1 = 35, t1 = 2；M2 = 21, t2 = 1；M3 = 15, t3 = 1 06 int x = (1 * 35 * 2 + 2 * 21 * 1 + 3 * 15 * 1) % 105; // 70 + 42 + 45 = 157 ≡ 52 07 cout << x; 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？
考点：方程组求解（N1）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：三方程 CRT。手算：验证 。
排除法：B 忘了取模；C 差 1；D 无依据。
关联 · 三方程 CRT 输出（J2）：同法双题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int x = 52; 05 cout << (x % 3 == 1 && x % 5 == 2 && x % 7 == 3 ? "YES" : "NO"); 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？
考点：解验证（N2）。
解析：52 满足三条件 → YES。正确答案 A。
实现要点：三余数分别验证。手算：、、。
排除法：B 是任一不满足；C/D 无依据。
关联 · 验证（J4）：同构题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 157 (mod 105) → 最小正整数解 05 int x = 157 % 105; 06 cout << x; 07 return 0; 08}
单选题：程序输出是？
考点：最小解（N3）。
解析：。正确答案 A。
实现要点：取模得最小正代表。手算：。
排除法：B 忘了取模；C 是周期；D 无依据。
关联 · 最小正整数解（C3）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int x0 = 23, M = 105; 05 // 检查 23、128、233 是否都满足物不知数三条件 06 int ok = 0; 07 for (int k = 0; k < 3; k++) { 08 int x = x0 + k * M; 09 if (x % 3 == 2 && x % 5 == 3 && x % 7 == 2) ok++; 10 } 11 cout << ok; 12 return 0; 13}
单选题：程序输出是？
考点：解的周期性（N4）。
解析：23、128、233 都满足 → 3 个全通过。正确答案 A。
实现要点：周期 内的解代表 + 平移都成立。手算：逐个验证。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 解的模（C4）：概念题代码化。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 求 1000 mod 21：分解 21 = 3 × 7 05 int r3 = 1000 % 3, r7 = 1000 % 7; 06 // r3 = 1, r7 = 6；CRT：x ≡ 1 (mod 3), x ≡ 6 (mod 7) 07 // M1 = 7, t1 = 7^(-1) mod 3 = 1；M2 = 3, t2 = 3^(-1) mod 7 = 5 08 int x = (1 * 7 * 1 + 6 * 3 * 5) % 21; // 7 + 90 = 97 ≡ 13 09 cout << x; 10 return 0; 11}
单选题：程序输出是？（1000 mod 21 = 13）
考点：应用综合（N5）。
解析：、 → CRT 合并得 13。正确答案 A。
实现要点：分解 + CRT 全流程。手算：验证 。
排除法：B 忘了取模；C/D 无依据。
关联 · 综合应用（L6）：同法双题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 求 12345 mod 12：分解 12 = 3 × 4 05 int r3 = 12345 % 3, r4 = 12345 % 4; 06 // r3 = 0, r4 = 1；CRT：x ≡ 0 (mod 3), x ≡ 1 (mod 4) 07 // M1 = 4, t1 = 4^(-1) mod 3 = 1；M2 = 3, t2 = 3^(-1) mod 4 = 3 08 int x = (0 * 4 * 1 + 1 * 3 * 3) % 12; // 9 09 cout << x; 10 return 0; 11}
单选题：程序输出是？（12345 mod 12 = 9）
考点：大数计算（N6）。
解析：、 → CRT 得 9。正确答案 A。
实现要点：与 N5 同法、模 12。手算：验证 。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 大数模分解（L1）：同法双题。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 2 (mod 3), x ≡ 3 (mod 5), x ≡ 2 (mod 7) 05 int m[3] = {3, 5, 7}, a[3] = {2, 3, 2}; 06 int M = 105; 07 int x = 0; 08 for (int i = 0; i < 3; i++) { 09 int Mi = M / m[i]; 10 int ti = 1; 11 while (______) ti++; // Mi * ti ≡ 1 (mod m[i]) 的最小 ti 12 x += a[i] * Mi * ti; 13 } 14 x %= M; 15 cout << x; 16 return 0; 17}
单选题：横线处应填入？（使输出为 23）
考点：CRT 构造填空（O1）。
解析：暴力求逆元条件 Mi * ti % m[i] != 1。正确答案 A。
实现要点：循环找最小 使 。手算：验证各分量。
排除法：B 判断错误条件；C 是范围条件；D 反向。
关联 · 构造三步骤（B1）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int M = 105; 05 int m1 = 3, m2 = 5, m3 = 7; 06 int M1 = ______, M2 = ______, M3 = ______; // M_i = M / m_i 07 cout << M1 << " " << M2 << " " << M3; 08 return 0; 09}
单选题：横线处应填入？（使输出为 35 21 15）
考点：M_i 填空（O2）。
解析：M / m1, M / m2, M / m3。正确答案 A。
实现要点：。手算：105/3 等。
排除法：B 是模数；C 乘错；D 减错。
关联 · M_i 计算（M4）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int Mi = 35, mi = 3; 05 int t = 1; 06 while (Mi * t % mi != 1) t++; 07 cout << t; // 35^(-1) mod 3 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？
考点：逆元填空（O3）。
解析：暴力循环得 2。正确答案 A。
实现要点： 的最小 t。手算：t=1 时 35≡2≠1，t=2 时 70≡1。
排除法：B/C/D 无依据。
关联 · 逆元 t_i（B4）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int a[3] = {2, 3, 2}; 05 int Mi[3] = {35, 21, 15}; 06 int t[3] = {2, 1, 1}; 07 int M = 105; 08 int x = 0; 09 for (int i = 0; i < 3; i++) x = (x + ______) % M; // 累加 a_i·M_i·t_i 10 cout << x; 11 return 0; 12}
单选题：横线处应填入？（使输出为 23）
考点：求和填空（O4）。
解析：a[i] * Mi[i] * t[i]。正确答案 A。
实现要点：CRT 求和项 = 三因子乘积。手算：验证累加取模得 23。
排除法：B 是加法；C 漏 a；D 漏 M。
关联 · 解的公式（B5）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 2 (mod 4), x ≡ 4 (mod 6)：判定可解 05 int a = 2, m = 4, b = 4, n = 6; 06 int g = __gcd(m, n); 07 if (______) { // 可解条件 08 cout << "SOLVABLE"; 09 } else { 10 cout << "NO-SOLUTION"; 11 } 12 return 0; 13}
单选题：横线处应填入？（使输出为 SOLVABLE）
考点：非互质合并填空（O5）。
解析：a % g == b % g。正确答案 A。
实现要点：可解条件 = 余数模 gcd 同余。手算：。
排除法：B 反向；C/D 无依据。
关联 · 模不互质时的条件（D1）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int x = 23; 05 cout << (______ ? "YES" : "NO"); // 物不知数三条件验证 06 return 0; 07}
单选题：横线处应填入？（使输出为 YES）
考点：验证填空（O6）。
解析：三条件与式 x % 3 == 2 && x % 5 == 3 && x % 7 == 2。正确答案 A。
实现要点：验证 = 所有方程同时成立。手算：逐个取余。
排除法：B 是或；C 是硬编码；D 无依据。
关联 · 解验证（N2）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 100 mod 15：分解 15 = 3 × 5 05 int r3 = 100 % 3, r5 = 100 % 5; 06 // CRT 合并（x ≡ r3 (mod 3), x ≡ r5 (mod 5)） 07 int x = (r3 * 5 * 2 + r5 * ______) % 15; // M2 = 3, t2 = 2 08 cout << x; 09 return 0; 10}
单选题：横线处应填入？（使输出为 10）
考点：应用填空（O7）。
解析：3 * 2（M2 × t2）。正确答案 A。
实现要点：第二分量 = 。手算：验证合并得 10。
排除法：B 分量错；C 漏 t；D 无依据。
关联 · 大数模分解（L1）：填空版。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int x = 2 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1 + 2 * 15 * 1; // 错误：忘了 % 105 05 cout << x; 06 return 0; 07}
单选题：程序输出是？（未取模的原始和——不是最小解）
考点：忘取模 M（P1）。
解析：原始和 233——不是最小正解（应模 105 得 23）。正确答案 A。
实现要点：CRT 最后必须 % M。手算：。
排除法：B 是取模后；C/D 无依据。
关联 · 忘了模 M 取解（H2）：错误示范。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 错误：t1 应按模 3 求（35 ≡ 2 → 逆元 2），误按模 105 求 05 int t1_wrong = 2; // 此处演示：若误算 35^(-1) mod 105 将无解（gcd(35,105)≠1） 06 int t1 = 2; 07 cout << (t1 * 35 % 3 == 1 ? "t1-OK" : "t1-BAD"); 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？（正确的 t1=2 验证：2 × 35 = 70 ≡ 1 (mod 3)）
考点：逆元求错（P2）。
解析：正确 验证 → t1-OK。正确答案 A。
实现要点：逆元按 求——误按 M 求会因 根本无逆元。手算：验证。
排除法：B 是错误 t；C/D 无依据。
关联 · 逆元求错（H3）：错误示范。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // 错误：模 4 与 6 不互质，直接套互质 CRT 公式 05 // M = 24, M1 = 6, "t1 = 6^(-1) mod 4"——gcd(6,4)=2，逆元不存在！ 06 cout << "invalid"; 07 return 0; 08}
判断题：模不互质时互质 CRT 公式中的逆元可能根本不存在（gcd(M_i, m_i) ≠ 1）——直接套公式必然出错，必须先逐对合并。
考点：非互质误用（P3）。
解析：模 4、6 不互质， 与 不互质 → 逆元不存在 → 公式失效。✅ 正确
实现要点：套互质公式前必须检查 。手算：。
排除法：无（判断题）。混淆点：逆元不存在不是小错——公式整体崩塌。
关联 · 模不互质误用公式（H1）：错误示范。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 int x = 23, M = 105; 05 // 错误：以为唯一解是 23，忘了 128、233… 都是解 06 // 正解：x = 23 + 105k（k 整数） 07 cout << (128 % M == x ? "MORE-SOLUTIONS" : "ONLY-ONE"); 08 return 0; 09}
单选题：程序输出是？（128 与 23 同余模 105——解不止一个）
考点：解范围错（P4）。
解析：——128 也是解，"唯一解是 23"的说法错误。正确答案 A。
实现要点：解集是模 M 的同余类，回答要带"模 M"。手算：。
排除法：B 是误解唯一性；C/D 无依据。
关联 · 解的唯一性（A6）：错误示范。
01#include <bits/stdc++.h> 02using namespace std; 03int main() { 04 // x ≡ 1 (mod 2), x ≡ 2 (mod 4)：漏判可解条件直接合并 05 // x = 1 + 2k ≡ 2 (mod 4) → 2k ≡ 1 (mod 4)：无解 06 // 若不检查继续算 k = (1 - ...)/2 会得到错误"解" 07 bool ok = false; 08 for (int k = 0; k < 2; k++) 09 if ((1 + 2 * k) % 4 == 2) ok = true; 10 cout << (ok ? "HAS" : "NONE"); 11 return 0; 12}
单选题：程序输出是？
考点：无解漏判（P5）。
解析：遍历确认 无解 → NONE——漏判会继续算出错误"解"。正确答案 A。
实现要点：非互质合并必须先判可解。手算： 无解（偶 ≠ 奇）。
排除法：B 是漏判结果；C/D 无依据。
关联 · 无解情形漏判（H4）：错误示范。
判断题：以下结论全部正确——"互质 CRT 公式需要逆元存在（互质保证）；非互质必须先判 ；解集是模 （或 lcm）的同余类；合并过程中无解则整体无解"。
考点：综合判断（P6）。
解析：四结论全对：互质公式需逆元存在（互质保证）；非互质先判模 gcd 同余；解集是模 M（或 lcm）同余类；合并中途无解即整体无解。✅ 正确
实现要点：本章四大核心结论收官自查。手算：逐条对照本章代码。
排除法：无（判断题）。混淆点：互质/非互质两套路径的条件切换是本章精髓。
关联 · 本章全部核心结论：收官综合判断题。