第 1 章 进制与编码 · 知识细节练习

考点：进制三要素（A1）。

解析：基数 = 数码个数，决定"逢 R 进一"；位权从右起第 $0$ 位开始为 $R^0$。

• A ✓ 二进制 $2$ 个数码、八进制 $8$ 个、十六进制 $16$ 个。
• B 错：位权第 $0$ 位是 $R^0=1$；C 错：数码是"全部允许的数字"不是"最大的数字"；D 错：十六进制数码共 $16$ 个。

关联 · 各进制数码集合（A2）：

进制	基数	数码
二进制	2	$0,1$
八进制	8	$0\sim7$
十进制	10	$0\sim9$
十六进制	16	$0\sim9,\text{A}\sim\text{F}$
规律：数码 = $0$ 到 $R-1$，永远不会出现等于基数的数码（八进制没有 $8$、二进制没有 $2$）。

考点：常用进制对照（A2）。

解析：八进制"逢 $8$ 进一"，数码只允许 $0\sim7$，没有 $8$。✅ A

关联 · 数码规律（A1）：任何 R 进制数码都是 $0\sim(R-1)$。所以看到 $(128)_8$、$(890)_9$ 这类"数码等于基数或更大"的写法直接判非法。

考点：十六进制字母（A3）。

解析：A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15。✅ C

关联 · 速记法：字母序 = $10 + ($字母序号$-1)$，如 $D$ 是第 $4$ 个 → $10+3=13$。
关联 · 8421（B9）：十六进制转二进制就是查 8421 表——$D=1101$、$B=1011$，字母必须背熟。

考点：进制表示法（A4）。

解析：0x 是 C++ 十六进制前缀，按权展开：
$$0x2F = 2\times16 + 15 = 47$$
✅ B

关联 · 三种前缀（A4）：0b1011 二进制、01011 八进制（前导 0）、0x2F 十六进制——做题先认前缀再算，漏看前缀 = 白算。
关联 · 按权展开（B1）：$0x2F$ 的展开就是"数码 $\times$ 位权"的通用法则。

考点：计算机用二进制的原因（A5）。

解析：电路只有通/断两态，$0/1$ 表示最可靠、抗干扰、实现最简单——最主要原因。✅ A
速度、空间不是二进制本身的优势；二进制对人类阅读反而最不友好。

关联 · 运算简单（C1）：二进制只有 $0+0,\ 0+1,\ 1+1$ 三种加法组合（$1+1$ 进位），配合补码让减法也变成加法——这是电路能极度简化的根源。

考点：按权展开（B1）。

解析：
$$(101.01)_2 = 1\times2^2 + 0\times2^1 + 1\times2^0 + 0\times2^{-1} + 1\times2^{-2} = 4+0+1+0+0.25 = 5.25$$
✅ D

关联 · 小数位权（B1）：小数点后第 $1$ 位位权是 $2^{-1}=0.5$——C 选项 $5.5$ 就是误把 $0.01_2$ 当 $0.5$ 算的（实际 $0.01_2=0.25$）。
关联 · 转换互逆（B2/B3）：按权展开是"R→十进制"；反过来"十进制→R"用除 R 取余/乘 R 取整，两者互为逆运算，可互相验算。

考点：十进制整数 → R 进制（B2）。

解析：除 2 取余、倒序读：

余数倒序：$10011$。✅ A（验算 $16+2+1=19$ ✓）

关联 · 方向对比（B2/B3）：整数"除 R 取余倒序读"，小数"乘 R 取整正序读"——B 选项 $10101$ 就是顺序读反的产物（$=21$）。

考点：十进制小数 → R 进制（B3）。

解析：乘 2 取整、正序读：
$$0.375\times2=0.75\ \text{取}0 \to 0.75\times2=1.5\ \text{取}1 \to 0.5\times2=1.0\ \text{取}1$$
得 $0.011$。✅ C（验算 $0.25+0.125=0.375$ ✓）

关联 · 方向对比（B2/B3）：整数和小数的转换方向相反，这是最高频易错点。
关联 · 终止条件（B4）：小数部分乘到 $1.0$ 才停；若永远到不了 $1.0$（如 $0.1$）就是无限循环 → 浮点误差。

考点：$(0.1)_{10}$ 不可精确表示（B4）。

解析：$(0.1)_{10} = 0.0001100110011\cdots_2$ 无限循环，无法精确表示。✅ B

关联 · 浮点误差：0.1 + 0.2 在浮点运算里不等于 0.3（都是近似值相加）。写程序判浮点相等要用 $|a-b|<\epsilon$，不要用 ==。
关联 · 何时会精确（B3）：只有形如 $k/2^m$ 的小数（如 $0.375=3/8$）才能被二进制精确表示。

考点：二 → 八（B5）。

解析：从个位向左每 $3$ 位一组，不足左补 $0$：
$$1011011_2 \to 001\,|\,011\,|\,011 \to 1\,|\,3\,|\,3 = (133)_8$$
✅ C（验算 $64+16+8+2+1=91$，$(133)_8=64+24+3=91$ ✓）

关联 · 补 0 方向（B7）：整数左补、小数右补——方向反了会整组错位。
关联 · 分组对应（B9）：3 位一组的值就是 $4,2,1$ 位权求和：$011=3$、$001=1$。

考点：二 → 十六（B6）。

解析：每 $4$ 位一组：$1011011_2 \to 0101\,|\,1011 \to 5\,|\,B = (5B)_{16}$。✅ A

关联 · 漏补 0 陷阱（B7）：B 选项 $(3B)_{16}$ 把左组 $111$ 当成了 $3$——正确补 $0$ 后是 $0111=7$ 不是 $0011=3$。高位组补 0 后仍要按 4 位读。
关联 · 8421（B9）：$1011=11=B$ 直接查 8421 表。

考点：分组补 0 方向（B7）。

解析：小数部分从紧挨小数点向右 $3$ 位一组，右补 0：
$$(0.01)_2 \to 0.010 \to (0.2)_8$$
✅ D（验算 $0.01_2=0.25=(0.2)_8$ ✓）

关联 · 补 0 方向总表（B5/B6/B7）：整数部分左补（补在最高位前）、小数部分右补（补在最低位后）——方向错了数字就错。
关联 · 小数位权（B1）：$(0.2)_8 = 2\times8^{-1} = 0.25$，与 $(0.01)_2$ 相等，互转验算闭环。

考点：八/十六 → 二（B8）。

解析：每位展开 4 位：$3=0011,\ A=1010$ → $0011\,1010$ → 去前导 0 → $(111010)_2$。✅ A

关联 · 互逆（B6）：展开是分组的逆运算——$4$ 位一组拼回去就是 $1011\,1010$ 这类写法。
关联 · C 选项陷阱：$(110010)_2$ 是把 $A$ 错展开成 $1001$ 的干扰项，说明字母的 8421 值必须记准。

考点：8421 速查（B9）。

解析：$B$ 是第 $11$ 个十六进制数：$11 = 8+2+1 = 1011_2$。✅ B

关联 · 8421 全表（B9）：$0\!=\!0000,\ 1\!=\!0001,\ 2\!=\!0010,\ 3\!=\!0011,\ 4\!=\!0100,\ 5\!=\!0101,\ 6\!=\!0110,\ 7\!=\!0111,\ 8\!=\!1000,\ 9\!=\!1001,\ \text{A}\!=\!1010,\ \text{B}\!=\!1011,\ \text{C}\!=\!1100,\ \text{D}\!=\!1101,\ \text{E}\!=\!1110,\ \text{F}\!=\!1111$——二进制转十六进制全靠它。
关联 · 位权理解（B1）：$1011 = 8+0+2+1$，正是 8421 四个位权。

考点：幂速查（B10）。

解析：逐个验算：$2^{10}=1024$（A ✗）、$(100)_{16}=256$（B ✗）、$2^8=256$（C ✓）、$16^2=256$（D ✗）。✅ C

关联 · 幂速查表（B10）：$2^0\!=\!1,\ 2^1\!=\!2,\ 2^2\!=\!4,\ 2^3\!=\!8,\ 2^4\!=\!16,\ 2^5\!=\!32,\ 2^6\!=\!64,\ 2^7\!=\!128,\ 2^8\!=\!256,\ 2^9\!=\!512,\ 2^{10}\!=\!1024$；$16^2=256$、$16^3=4096$。
有趣：$2^8$、$(100)_{16}$、$16^2$ 三个写法都是 $256$——换算题常用这组数互相设陷阱。

考点：混合进制比较（B11）。

解析：全部转十进制：$(1010)_2=10$、$(11)_8=9$、$12$、$(B)_{16}=11$ → 最大 $12$。✅ C

关联 · 统一策略（C4）：凡混合进制（比较、加减、算式），第一反应就是全部转十进制——这是唯一不犯错的路。

考点：常见值速记（B12）。

解析：$1101_2 = 8+4+1 = 13 \ne 15$。✅ D（题目要选错误的）

关联 · 易混值（B12）：$13=1101_2$、$15=1111_2$、$14_8=12$、$D_{16}=13$、$1010_2=10$、$166_8=118$、$270_8=184$——这几个高频值建议背熟，混合算式直接秒算。

考点：进制下标陷阱（B13）。

解析：八进制数码只能 $0\sim7$：

• $(128)_8$ 含 $8$ ✗、$(870)_8$ 含 $8$ ✗、$(1239)_8$ 含 $9$ ✗
• $(778)_8$ 全合法 ✓

✅ C

关联 · 数码规则（A2）：任何 R 进制数码 ∈ $0\sim(R-1)$——判断"某数是不是合法的 X 进制数"，只看有没有出现 $\ge R$ 的数码即可。

考点：二进制加法（C1）。

解析：
$$\begin{array}{r} 1011 \\ +\ 0101 \\ \hline 10000 \end{array}$$
最低位 $1+1$ 写 $0$ 进 $1$，进位逐位上传。✅ A（验算 $11+5=16$ ✓）

关联 · 进位规则（C1）：$1+1=10$（进 1）、$1+1+1=11$（进 1 写 1）——二进制只有这两条进位。
关联 · 验算法（C5）：算完转十进制核对一遍，稳。

考点：二进制减法（C2）。

解析：$(10000)_2-(11)_2 = 16-3 = 13 = (1101)_2$。✅ C

关联 · 借位规则（C2）：二进制"借 1 当 2"——$10000$ 借给下一位的是 $2$ 不是 $1$。
关联 · 补码视角（D4）：减法 $a-b$ 等价于 $a+(-b)$ 的补码——这正是补码存在的意义。

考点：八进制加法（C3）。

解析：$(17)_8+(6)_8 = 15+6 = 21 = (25)_8$。✅ B
个位 $7+6=13=15_8$：写 $5$ 进 $1$；十位 $1+1=2$。

关联 · 逢 R 进一（C1/C3）：八进制进位阈值是 $8$：$7+1=10_8$、$7+7=16_8$。
关联 · 验算（C5）：转十进制 $15+6=21$，再转回八进制 $25_8$ ✓。

考点：混合进制算式（C4）。

解析：$(10)_2+(10)_8+(10)_{16} = 2+8+16 = 26$。✅ D

关联 · 同一个"10"（A2）：写法相同、进制不同、值不同——二进制 $10_2=2$、八进制 $10_8=8$、十六进制 $10_{16}=16$，这就是"下标=进制"必看的原因。
关联 · 统一策略（B11）：混合算式一律先转十进制。

考点：竖式验算（C5）。

解析：$(123)_8 = 64+16+3 = 83$、$(765)_8 = 448+48+5 = 501$，和 $= 584 = 512+64+8 = (1110)_8$。✅ C

关联 · 竖式进位（C3）：第 $2$ 列 $2+6=10_8$ 写 $0$ 进 $1$；第 $3$ 列 $1+7+1=11_8$ 写 $1$ 进 $1$ → $1110$。
关联 · 验算习惯（C5）：任何进制竖式做完，转十进制核对一遍，可以抓住 90% 的手滑。

考点：符号位（D1）。

解析：最高位（最左位）$1$ → 负数。✅ B

关联 · 三码符号位相同（D2/D3/D4）：原码、反码、补码的符号位规则一样（$0$ 正 $1$ 负），变的只是数值部分——所以判断正负永远只看最高位。
关联 · 机器数与真值（D1）：机器里存的是"机器数"（符号位+数值位），要还原成真实数值（真值）需要按码制解释。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：原码定义（D2）。

解析：正数原码 = 符号位 $0$ + 绝对值：$+6 \to 0000\,0110$。✅ D

关联 · 三码家族对照（D2/D3/D4）：

码制	$-6$ 的表示
原码	1000 0110
反码	1111 1001
补码	1111 1010
三个干扰项 A/B/C 正是 $-6$ 的三种码——看清题目问的是哪种。
关联 · 0 的两种表示（D2）：原码里 $+0=0000\,0000$、$-0=1000\,0000$，是两个不同的机器数。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：反码定义（D3）。

解析：$-6$ 原码 1000 0110 → 符号位不变取反 → 1111 1001。✅ A

关联 · 取反规则（D3）：反码只翻转数值位，符号位原样保留——把符号位也取反是新手最常犯的错。
关联 · 链条记忆（D2→D4）：原码 →取反→ 反码 →+1→ 补码，一条链背下来三码全通。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：补码定义（D4）。

解析：反码 $+1$：$1111\,1001 + 1 = 1111\,1010$。✅ B

关联 · 完整链条（D2/D3/D4）：$-6$：原 1000 0110 → 反 1111 1001 → 补 1111 1010。A 是反码、C 是原码——问"补码"时先想链条最后一步。
关联 · 0 的唯一性（D4）：补码里 $+0$ 和 $-0$ 都对应 0000 0000（$-0$ 取反+1 会回到它自己），所以补码的 0 只有一种——这是补码的设计优点之一。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：正数三码相同（D5）。

解析：正数符号位 $0$，取反、$+1$ 都不改变数值部分 → 三码完全相同。✅ C

关联 · 负数才是三码不同的地方（D2~D4）：判断"某串二进制是哪种码"要看符号位：正数三种一样没法区分，负数才有差异。
关联 · $+10$ 验证：0000 1010 三码都是它。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：补码 → 真值（D6）。

解析：符号位 $1$ → 负数，取反 $+1$ 求绝对值：
$$1111\,1110 \xrightarrow{\text{取反}} 0000\,0001 \xrightarrow{+1} 0000\,0010 = 2 \Rightarrow \text{真值 } -2$$
✅ A

关联 · 快捷法（D6）：补码当无符号数读，再减 $2^n$：$1111\,1110 = 254$，$254-256 = -2$——比取反+1 快。
关联 · 反向流程（D7）：真值 → 补码 = 原码 →取反→+1，与本题互逆，可互相验证。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：真值 → 补码（D7）。

解析：$13 = 0000\,1101$ → 原码 1000 1101 → 取反 1111 0010 → $+1$ → 1111 0011。✅ C

关联 · 互逆验证（D6）：把答案 1111 0011 取反+1：0000 1100+1 = 0000 1101 = $13$ ✓——双向流程必须都熟练。
关联 · 为什么 +1（D4）：补码的 $+1$ 是为了消除"两种 0"并让范围多一个数。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：用补码的原因（D8）。

解析：补码三大设计优点——① $0$ 的表示唯一 ② 减法变加法（电路只需加法器）③ 范围多一个 $-2^{n-1}$。正数上限并没有变（正数部分三码相同），D"能表示更大的正数"是错的。✅ D

关联 ① · 0 的表示（D2/D3/D4）：这是"0 唯一"背后的知识——

码制	$+0$	$-0$
原码	0000 0000	1000 0000
反码	0000 0000	1111 1111
补码	0000 0000	（无，$+0$ 与 $-0$ 重合）
两种 0 会让"判断结果是否为 0"需要特判，补码消除了这个麻烦。

关联 ② · 减法变加法（D6）：$5-3$ 用补码算：$0000\,0101 + 1111\,1101 = 1\,0000\,0010$，丢弃第 9 位进位 → 0000 0010 = $+2$ ✓——所以电路里只有加法器。

关联 ③ · 范围多一个数（D9/D10）：8 位补码 $-128\sim127$，原码/反码只有 $-127\sim127$——多出的 $-128$（1000 0000）只有补码能表示。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：8 位补码范围与最小值（D9）。

解析：范围公式 $-2^{n-1}\sim2^{n-1}-1$：
$$-2^7 \sim 2^7-1 = -128 \sim 127$$
最小值 $-128$ 对应补码 1000 0000。✅ A

关联 · 为什么 -128 只有补码（D9）：1000 0000 取反 0111 1111 $+1$ 会回到自己——它没有"原码/反码"对应物（$+128$ 在 8 位里放不下）。
关联 · 原码范围对比（D10）：原码 $-127\sim127$（有 $+0/-0$），补码 $-128\sim127$（$0$ 唯一）——正好多出最小值这一个数。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：8 位原码范围（D10）。

解析：原码范围 $-(2^{n-1}-1)\sim2^{n-1}-1$：
$$-(2^7-1) \sim 2^7-1 = -127 \sim 127$$
✅ A

关联 · 三种码范围对比（D9/D10）：8 位：无符号 $0\sim255$；原/反码 $-127\sim127$（有 $+0/-0$ 两个零）；补码 $-128\sim127$（$0$ 唯一）——补码"多一个数、少一个零"，这正是 D8 说的"范围多一个 $-2^{n-1}$"。
关联 · 为什么原码少一个（D2）：$1000\,0000$ 被 $+0/-0$ 中的 $-0$ 占用了，没法再表示 $-128$。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：溢出定义（E1）。

解析：整型溢出是静默回绕（wrap around）：结果按补码截断成范围另一端的值，不报错。✅ B

关联 · 回绕实例（E3/E4）：2147483647 + 1 = -2147483648；unsigned char 的 $255+1=0$；for(int i=1;i>0;i++) 会因回绕死循环。
关联 · 为什么是回绕（D9）：补码是模 $2^n$ 运算，超出范围就"转一圈回来"——这不是错误，是设计的自然结果。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：溢出判断（E2）。

解析：判据——补码加法中，符号位进位 ≠ 次高位进位 → 溢出。

• 符号位进、次高位不进 → 负溢出（负数相加，结果低于 $-128$）
• 符号位不进、次高位进 → 正溢出（正数相加，结果超过 $127$）

✅ A

推导验证 · 负溢出实例：$(-128) + (-1)$：

$$\begin{array}{r} 1000\,0000 \\ +\ 1111\,1111 \\ \hline 0111\,1111 \end{array}$$

从低到高逐位：次高位（第 7 位）$0+1$ 无进位，符号位（第 8 位）$1+1$ 进位 $1$——符号位进、次高位不进 → 负溢出。真值应为 $-129$（超出 $-128$），结果回绕为 $127$。

对照 · 正溢出实例：$127+1$：次高位进、符号位不进 → 正溢出（结果回绕为 $-128$）。

关联 · 记忆法（E2）：两个正数相加，低位进位一路顶进符号位（次高位进、符号位没出来）→ 正数撑爆 = 正溢出；两个负数相加，符号位的 1 被顶出去（符号位进、次高位没进）→ 负数撑爆 = 负溢出。

关联 · 真题口径（E2/E3）：GESP 2025-06 单选第 6 题考的是镜像句（符号位无进位、次高位有进位 → 官答上溢=正溢出）；本题是其镜像（符号位进、次高位不进）→ 下溢=负溢出，两条一起记。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：溢出实例（E3）。

解析：
$$\begin{array}{r} 0111\,1111 \\ +\ 0000\,0001 \\ \hline 1000\,0000 \end{array}$$
次高位进位、符号位不进 → 正溢出，结果读补码 = $-128$。✅ B

关联 · 判据应用（E2）：符号位（第 8 位）无进位、次高位（第 7 位）有进位 → 溢出。
关联 · 结果为什么是 -128（D9）：1000 0000 就是 8 位补码的最小值——溢出结果落在范围另一端，这就是"回绕"。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：C++ 类型范围（E4）。

解析：int 是 32 位补码：$-2^{31}\sim2^{31}-1 = -2147483648\sim2147483647$。✅ C

关联 · 类型表（E4）：char 1 字节 $-128\sim127$、short 2 字节 $-32768\sim32767$、int 4 字节、long long 8 字节——字节数翻倍，范围按 $2^{8}$ 倍扩张。
关联 · 公式来源（D9/D10）：n 位补码范围 $-2^{n-1}\sim2^{n-1}-1$，套 $n=32$ 即可；A/B 选项少算了一个最小值，是经典陷阱。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的计算机原理延伸。

考点：ASCII 位数（F1）。

解析：$2^7 = 128$，ASCII 用 7 位编码 $128$ 个字符（$0\sim127$）。✅ A

关联 · 关键值表（F2）：'0'=48、'A'=65、'a'=97，大小写差 32——这三个值加"差 32"是 ASCII 全部考点。
关联 · 扩展 ASCII（F1）：8 位的是"扩展 ASCII"（$256$ 个），标准 ASCII 是 7 位。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：ASCII 大小写关系（F2）。

解析：大小写相差 $32$：'A' = 97 − 32 = 65。✅ C

关联 · 三组关键值（F2）：'0'=48、'A'=65、'a'=97；同组连续差 1（'B'=66…），跨组差 32。
关联 · 为什么是 32（F1）：$32 = 2^5$——大小写字母的二进制只差第 5 位，用位运算 ch | 32 就能小写化，ch & ~32 大写化（第 2 章位运算的伏笔）。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：'0' 与 '\0'（F3）。

解析：'0' 是数字字符（ASCII $48$），'\0' 是空字符（ASCII $0$），不相等。✅ A

关联 · ASCII 关键值（F2）：$48$ 是数字起点：'0'=48、'1'=49…'9'=57；判断数字字符用 '0'<=c && c<='9'。
关联 · 两个 0 的语义：'\0'（字符串结束符）和数字 $0$ 和字符 '0' 是三回事——C++ 里 '\0'==0 为真（都是 0），但 '0'==0 为假（48≠0）。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：GB2312（F4）。

解析：GB2312 收录 $6763$ 个汉字、每字 $2$ 字节、$94\times94$ 个区位。✅ B

关联 · 与 UTF-8 对比（F7）：GB2312/GBK 汉字 $2$ 字节；UTF-8 汉字 $3$ 字节；英文在两者里都是 $1$ 字节——C 选项的"$3$ 字节"就是 UTF-8 的数值，别串台。
关联 · 为什么 2 字节（F4）：$94\times94\approx8836$ 个区位，1 字节只有 $256$ 种组合放不下 $6763$ 个汉字，必须 2 字节。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：GBK 与 GB2312（F5）。

解析：GBK 是 GB2312 的超集：完全兼容 GB2312，并扩展生僻字、繁体字等（$2$ 万+ 汉字）。✅ C

关联 · 编码家族（F4/F5）：GB2312 → GBK → GB18030 是"兼容扩展"三代；UTF-8 是另一条线（Unicode 体系），两者不兼容。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：汉字机内码与 ASCII 区分（F6）。

解析：GB 系机内码两个字节的最高位都是 $1$，ASCII 最高位是 $0$——据此区分汉字与英文字符。✅ D

关联 · 编码层次（F4）：区位码 → 国标码（各加 $32$）→ 机内码（两字节最高位置 $1$）——机内码的设计目标就是"一眼能看出是汉字还是 ASCII"。
关联 · 为什么能区分（F1）：ASCII 只用 7 位（$0\sim127$），最高位恒为 $0$；汉字机内码把最高位占掉，互不冲突。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：UTF-8 变长编码（F7）。

解析：汉字在 UTF-8 中是 3 字节：1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx。✅ B

关联 · UTF-8 规则表（F7）：1 字节 0xxxxxxx（ASCII 兼容）、2 字节 110xxxxx 10xxxxxx、3 字节 1110xxxx 10xxxxxx 10xxxxxx（中文）、4 字节 11110xxx …（生僻字/emoji）——看首字节前缀就能判断字符长度。
关联 · 与 GB2312 对比（F4）：同是"信"字，GB2312 存 2 字节，UTF-8 存 3 字节——网络传输常用 UTF-8，中文存储 GB 系更省。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：格雷码定义（G1）。

解析：格雷码相邻两个数的二进制表示只有 1 位不同。✅ A

关联 · 与自然二进制的区别（G1）：自然二进制 $3\to4$ 是 011→100 变了 3 位；格雷码保证任意相邻只变 1 位——硬件信号切换更稳。
关联 · 公式与序列（G2/G3）：生成 $G(n)=n\oplus(n\gg1)$；0~8 的 4 位序列：0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：格雷码公式（G2）。

解析：$G(n) = n \oplus (n \gg 1)$：
$$G(6) = 110_2 \oplus 011_2 = 101_2 = \text{0101}$$
✅ B

关联 · 序列验证（G3）：4 位格雷码 0~8：0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100——第 7 个（n=6）正是 0101 ✓。
关联 · 异或运算：$\oplus$ 按位异或：相同为 0、不同为 1——这是第 2 章位运算的核心运算，格雷码公式就是它的经典应用。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：格雷码序列（G3）。

解析：$G(5) = 101_2 \oplus 010_2 = 111_2 = \text{0111}$。✅ D

关联 · 完整序列（G3）：0~8：0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100——5 对应 0111。
关联 · 考场技巧（G2）：不会公式也能做——按"相邻只差 1 位"从 0000 逐项排，也能推出序列。
大纲注：本细节在 NOI 2025 大纲中未明确列出，属初赛真题高频的编码常识。

考点：取余/取整方向（H1）。

解析：小数用乘 2 取整，整数部分从上往下读。✅ D

关联 · 方向总表（B2/B3/H1）：

转换	方法	读取方向
整数 → R	除 R 取余	从下往上
小数 → R	乘 R 取整	从上往下
两个方向相反，各考各的，做题前先默念一遍。

考点：编码方式不止三种（H2）。

解析：机器数的编码方式远不止三种——有符号整数就有原码、反码、补码、移码四种；此外还有 BCD 码（十进制数的二进制编码）、无符号整数（非负整数，如 $0\sim255$）、IEEE 754 浮点编码等。"数据编码方式只有三种"显然错误。✅ B

关联 · 各编码用途：原/反/补码 → 有符号整数；移码 → 浮点数的阶码；BCD 码 → 十进制精确运算；无符号整数 → 非负整数；IEEE 754 → 浮点数。

关联 · 格雷码的定位（G1）：格雷码是传输/防错编码（相邻二进制只差 1 位，用于旋转编码器、信号抗干扰），不属于"数值数据编码"范畴——它不能当本题的反例，真正的反例是移码、BCD 码、无符号整数等。

考点：无符号回绕（H3）。

解析：$255+1 = 256 = 1\,0000\,0000_2$，8 位只留低 8 位 → 进位丢弃 → $0$。✅ A

关联 · 溢出回绕（E1）：无符号数回绕到 $0$；有符号数回绕到范围另一端（$127+1=-128$）——都是补码模运算的自然结果。
关联 · 边界值（D9/E4）：255 是 unsigned char 最大值、127 是 char 最大值——"最大+1"必触发回绕，程序里防这种边界是基本功。