组合计数 · 考纲词条练习

考点：加法原理（A1）。

（A1）考点：加法原理——完成一件事有几类互斥的办法，总数 = 各类办法数相加。

解析：火车 3 班、汽车 2 班，任选一班即可到达，两类互斥：$3 + 2 = 5$ 种。

排除法：选 $6$ 的人把两类相乘（混淆乘法原理）；选 $3$ 的人只算了火车一类；选 $2$ 的人只算了汽车一类。

考点：乘法原理（A2）。

（A2）考点：乘法原理——完成一件事要依次经过几步，总数 = 各步办法数相乘。

解析：选上衣 4 种、选裤子 3 种，两步缺一不可：$4 \times 3 = 12$ 种。

排除法：选 $7$ 的人把两步相加（混淆加法原理）；选 $4^3$ 的人把幂的方向弄反；选 $9$ 的人是 $3^2$ 的幂形式混淆。

考点：分类与分步的区分（A3）。

（A3）考点：分类用加法、分步用乘法——两件事都要做（选课和选活动）是分步，用乘法。

解析：选一门课（3 种）和选一项活动（2 种）是两个独立步骤，都要完成：$3 \times 2 = 6$ 种。

排除法：选"乘法原理之外的枚举法"的人方法判断错；选"加法原理因为都是选一个"的人把分步误判成了分类；选"加法原理得 $5$ 种"的人用 $3+2=5$ 把两步相加——分步应相乘得 $6$。

考点：加乘混合（A4）。

（A4）考点：分步相乘——选 1 男和 1 女是两步：$3 \times 2 = 6$。

解析：男生 3 选 1 有 3 种，女生 2 选 1 有 2 种，两步组合：$3 \times 2 = 6$ 种。

排除法：选 $5$ 的人只选 1 人不分性别；选 $12$ 的人把两步各自又当排列算；选 $10$ 的人用了 $C(5,2)$（选 2 人不限性别）。

考点：分类必须互斥（A5）。

（A5）考点：分类加法计数要求各类互斥（不重）且不漏。

解析：若两类有重叠，重叠的方案会被数两次，结果偏大；漏了某类则结果偏小。

排除法：选"类别越多越好可以重叠"的人忽略了重复计数；选"类别数必须是 2"的人把二分当成了硬性要求；选"每类都要包含全部情况"的人混淆了"类"与"全集"。

考点：枚举验证（A6）。

（A6）考点：小数据枚举验证是核对计数结果的好习惯——3 个数的全排列逐个写出恰好 6 种，印证 $3! = 6$。

解析：$1,2,3$ 的全排列按字典序：123、132、213、231、312、321，共 $6$ 种。

排除法：选 $27$ 的人算成了 $3^3$ 的可重复排列；选 $9$ 的人是 $3^2$ 的混淆；选 $3$ 的人只数了以 1 开头的。

考点：全排列（B1）。

（B1）考点：$n$ 个元素的全排列数是 $n!$——$4$ 人排队 $= 4! = 24$。

解析：第 1 个位置 4 种、第 2 个 3 种、第 3 个 2 种、第 4 个 1 种：$24$。

排除法：选 $4$ 的人只数了元素个数；选 $16$ 的人是 $4^2$；选 $256$ 的人是 $4^4$ 的可重复排列。

考点：0 的阶乘（B2）。

（B2）考点：约定 $0! = 1$（空积为 1）——这是 $C(n,n) = n!/n!$ 成立的前提。

解析：数学上规定 $0! = 1$，就像"空集合的子集恰好 1 个"。

排除法：选 $-1$ 的人无依据；选 $0$ 的人是"$0 \times$ 任何数 $= 0$"的错误直觉；选"没有意义"的人不知道这是约定。

考点：阶乘的增长与溢出（B3）。

（B3）考点：阶乘增长极快——$12! \approx 4.8\times10^8$ 还在 int 内，$13! \approx 6.2\times10^9$ 第一个超过 int。

解析：$2.1\times10^9$ 的 int 上限卡在 $12!$ 与 $13!$ 之间。

排除法：选 $10!$、$8!$ 的人少估了增长（它们都还没超）；选 $20!$ 的人对，但 $20!$ 不是"第一个"超的。

考点：排列有序（B4）。

（B4）考点：排列有序——$ab$ 与 $ba$ 元素相同但顺序不同，是两种不同排列。

解析：排列的定义是"排成一列"，位置不同即不同；不问顺序时才用组合。

排除法：选"同一种因为元素相同"的人忽略了顺序；选"取决于题目约定"的人不知道有序性是定义；选"两种不同的组合"的人用词错（顺序不同的两个对应同一个组合）。

考点：组合数边界值（C1）。

（C1）考点：$C(n, 0) = C(n, n) = 1$——"一个都不选"和"全选"都只有一种方式。

解析：$n$ 再大，选 0 个的方案也只有一种（空集），选全部也只有一种。

排除法：选"$2026$ 和 $1$"、"$0$ 和 $2026$"的人把边界值当成了 $n$ 或 0；选"都是 $0$"的人与事实相反。

考点：k 大于 n 的组合数（C2）。

（C2）考点：$k > n$ 时 $C(n, k) = 0$——从 3 个元素中取不出 5 个。

解析：取不到的方案数为 0（这是定义的一部分，不是错误）。

排除法：选"没有定义会出错"的人不知道值为 0 也是合法定义；选 $5$ 的人无依据；选 $C(5,3) = 10$ 的人把对称性反着用到了 $k > n$。

考点：C(n,1) 与 C(n,n-1)（C3）。

（C3）考点：$C(n, 1) = C(n, n-1) = n$——选 1 个（或淘汰 1 个）都恰有 $n$ 种。

解析：$C(100,1) = 100$，$C(100,99) = C(100,1) = 100$，相加 $200$。

排除法：选 $198$ 的人是 $100+98$ 的错算；选 $9900$ 的人用了 $C(100,2)$；选 $100$ 的人只算了一项。

考点：组合无序（C4）。

（C4）考点：组合无序——两人握手不分先后：$C(5,2) = 10$ 次。

解析：甲握乙与乙握甲是同一次握手，用组合不用排列。

排除法：选 $5$ 的人无依据；选 $A(5,2) = 20$ 的人把"甲乙"和"乙甲"当两次；选 $5^2 = 25$ 的人是重复计数。

考点：杨辉递推式（D1）。

（D1）考点：$C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)$——验证 $C(4,2) = C(3,1) + C(3,2) = 3+3 = 6$。

解析：考虑某个特定元素："选它"对应 $C(n-1,k-1)$，"不选它"对应 $C(n-1,k)$，两类互斥相加。

排除法：选 $1+2=3$ 的人配错了行；选 $3+6=9$ 的人数值对不上任何一对；选 $4+6=10$ 的人是 $C(4,2)$ 与另一行的混淆。

考点：二项式和等于 2 的 n 次方（D2）。

（D2）考点：$\sum_{k=0}^{n} C(n,k) = 2^n$——杨辉三角每行的数加起来是 2 的幂。

解析：$1+3+3+1 = 8 = 2^3$，也等于 3 元素集合的子集数。

排除法：选 $6$ 的人是 $2\times3!$；选 $3$ 的人只取了 $C(3,1)$；选 $12$ 的人是 $3^2$ 量级的混淆。

考点：递推计数（D3）。

（D3）考点：到达第 $n$ 级的最后一步来自第 $n-1$ 或 $n-2$ 级——$f(n) = f(n-1)+f(n-2)$（斐波那契型计数）。

解析：$f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=f(3)+f(2)=5$。

排除法：选 $8$ 的人把初值记成了 $f(1)=f(2)=1$；选 $4$ 的人只算了"全部上 1 级"的思路；选 $6$ 的人多数了一级。

考点：捆绑法（E1）。

（E1）考点：相邻问题用捆绑法——每对夫妻捆成一个整体：$(2!)^3 \times 3! = 48$。

解析：每对内部 $2$ 种、3 个整体排列 $3! = 6$ 种：$2^3 \times 6 = 48$。

排除法：选 $720$ 的人忘了相邻约束（全排列 $6!$）；选 $24$ 的人是 $4!$（少了内部交换）；选 $8$ 的人只算了内部交换 $2^3$。

考点：插空法（E2）。

（E2）考点：不相邻问题用插空法（或间接法）——$4! - 2\times3! = 24 - 12 = 12$。

解析：间接法：全排 $24$，甲乙相邻（捆绑）$2 \times 3! = 12$，不相邻 $= 12$。

排除法：选 $18$ 的人是 $24-6$（捆绑时忘了内部交换的 2 倍）；选 $6$ 的人少算了一半；选 $24$ 的人是全排列（忘了约束）。

考点：隔板法（E3）。

（E3）考点：$n$ 个相同物品分给 $k$ 人每人至少 1 个 = $C(n-1, k-1)$——$C(9,2) = 36$。

解析：10 个苹果排成一排有 9 个间隙，插 2 块板分成 3 段（每段非空）：$C(9,2) = 36$。

排除法：选 $C(10,3)$ 的人板位置选错（间隙只有 9 个且只需 2 块板）；选 $3^{10}$ 的人把苹果当成了不同的；选 $120$ 的人无依据。

考点：特殊元素优先（E4）。

（E4）考点：特殊位置/元素先安排——甲固定中间，其余 4 人随便排：$4! = 24$。

解析：中间位置被甲占死，剩 4 个位置全排列 $4! = 24$。

排除法：选 $48$ 的人混淆了捆绑法；选 $120$ 的人是无约束全排列；选 $5$ 的人只算了位置数。

考点：有重复元素的排列（E5）。

（E5）考点：重复元素排列 = $\dfrac{n!}{n_1!\, n_2!}$——$\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10$。

解析：先当作 5 个不同字母排（120 种），再除以 3 个 A 的互换（$3!$）和 2 个 B 的互换（$2!$）。

排除法：选 $120$ 的人忘了除重复度；选 $20$ 的人是 $5\times4$；选 $5$ 的人只数了元素种类数。

考点：技巧的识别（E6）。

（E6）考点：相邻 → 捆绑法；不相邻 → 插空法；相同物品分配 → 隔板法。

解析："必须相邻"把若干元素看作一个整体，是捆绑法的标志情境。

排除法：选隔板法的人对付的是"相同物品分组"；选插空法的人对付的是"不相邻"；选间接法的人那是"正面难算从反面算"的通用策略。

考点：捆绑法进阶（E7）。

（E7）考点：部分元素相邻的捆绑进阶——3 名女生捆成一个整体，与 5 名男生共 6 个元素排列 $6!$，女生内部 $3!$：$720 \times 6 = 4320$。

解析：捆绑后"6 个元素"全排列 $6! = 720$，女生块内部再排 $3! = 6$，相乘得 $4320$。真题 2024 年原题。

排除法：选 $5040$ 的人是 $7!$（把女生块算成 1 个且忘内部排列）；选 $40320$ 的人是 $8!$（忘了相邻约束）；选 $720$ 的人只算了捆绑后的整体排列。

考点：隔板法允许空（E8）。

（E8）考点：允许空袋的隔板变式 = $C(n+k-1, k-1)$——10 个苹果 3 人允许有人分不到：$C(12, 2) = 66$。

解析：允许空时"每人先借 1 个"变成至少 1：13 个苹果分 3 人至少 1 = $C(12,2) = 66$。

排除法：选 $C(10,3)$ 的人板位置思路错；选 $36$ 的人用的是"至少 1"版公式；选 $120$ 的人无依据。

考点：重复元素组数（E9）。

（E9）考点：重复元素 + 数字组成——分类：三个数互异 $3! = 6$；含一对重复：$2\times2\times3 = 12$；共 $18$。

解析：按"重复个数"分类计数：$6 + 12 = 18$。真题 2021 年原题。

排除法：选 $24$ 的人是 $4\times3!$ 的错式；选 $12$ 的人只算了一类；选 $60$ 的人用了 $5\times4\times3$（忘了重复元素）。

考点：排队问题综合（F1）。

（F1）考点：不相邻综合——先排男生 $3!$，4 个空位插 2 名女生 $A(4,2)$：$6 \times 12 = 72$。

解析：男生先排（$3! = 6$）形成 4 个空（含两端），女生选空插入并排序（$A(4,2) = 12$）。

排除法：选 $36$ 的人是 $C(4,2)\times6$（女生插空忘了排序）；选 $120$ 的人是全排列；选 $24$ 的人只算了男生。

考点：至少问题间接法（F2）。

（F2）考点："至少 1 个蓝"用间接法：全部减去"没有蓝"：$C(5,3) - C(3,3) = 10 - 1 = 9$。

解析：全取 3 球 $C(5,3) = 10$；"没有蓝"= 全从红球取 $C(3,3) = 1$；至少 1 蓝 $= 9$。

排除法：选 $6$ 的人是分类相乘的错法；选 $1$ 的人只算了全红；选 $10$ 的人忘了减全红那 1 种。

考点：数字组成问题（F3）。

（F3）考点：组数字注意0 不能作首位——十位 3 种（1/2/3）、个位 3 种（剩 3 个含 0）：$9$ 个。

解析：两位数 = 十位 × 个位：$3 \times 3 = 9$。

排除法：选 $3$ 的人无依据；选 $12$ 的人是 $4\times3$（限制错了位）；选 $16$ 的人是 $4\times4$（忘了首位非 0）。

考点：网格路径计数（F4）。

（F4）考点：网格路径 = 从总步数中选"向右"的位置——共 6 步选 3 步向右：$C(6,3) = 20$。

解析：从左下到右上要 3 右 3 上共 6 步，路径由"哪些步向右"决定：$C(6,3) = 20$。

排除法：选 $9$ 的人是 $3^2$；选 $2^6$ 的人以为每步独立 2 种选择（会被边界挡住）；选 $6$ 的人是 $3!$。

考点：平均分组（F5）。

（F5）考点：平均分组要除以组数的阶乘（组不分先后）——$C(4,2) / 2! = 3$。

解析：选 2 人一组、剩下 2 人一组：$C(4,2) = 6$，但"甲乙|丙丁"与"丙丁|甲乙"是同一种分法，除以 $2!$：$3$。

排除法：选 $12$ 的人是 $A(4,2)$；选 $6$ 的人是 $C(4,2)$（忘了除以组数的排列）；选 $4$ 的人无依据。

考点：组合数的代码实现（F6）。

（F6）考点：杨辉递推预处理组合数——双重循环填表，C[6][3] = $C(6,3) = 20$。

解析：代码把每行第 $0$ 列置为 $1$，中间用 $C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j]$ 递推，整个表与杨辉三角一致。

排除法：选 6 的人是 $C(6,1)$ 之类的错行取值；选 120 的人把排列数当成了组合数；选 10 的人是 $C(5,2)$ 的错行。

考点：平均分组三队（F7）。

（F7）考点：平均分成 3 队（队不分编号）= $\dfrac{C(6,2)C(4,2)C(2,2)}{3!} = 15$。

解析：先按"有序"分队 $15 \times 6 \times 1 = 90$，再除以 3 队的编号排列 $3! = 6$，得 $15$。真题 2021 年原题。

排除法：选 $30$ 的人是 $90/3$（少除了一个 2!）；选 $90$ 的人忘了除以 $3!$；选 $5$ 的人多除了 3。

考点：大棋盘路径（F8）。

（F8）考点：大棋盘上到指定点的路径 = $C(步数, 向右步数)$——$(1,1)$ 到 $(4,5)$ 需向右 3 步、向下 4 步共 7 步：$C(7,3) = 35$。

解析：路径由"哪 3 步向右"决定：$C(7,3) = 35$。真题 2025 年原题。

排除法：选 $21$ 的人是 $C(7,2)$ 的错算；选 $56$ 的人把坐标差算成 8 步；选 $7$ 的人只数了步数本身。

考点：男女交替排列（F9）。

（F9）考点：交替排列——男女数量相等时有两种起始：男先或女先，各 $4! \times 4!$：$2 \times 24 \times 24 = 1152$。

解析：交替模式只有"男女男女…"与"女男女男…"两种；每种模式下男生在固定 4 个位置排 $4!$、女生 $4!$。

排除法：选 $40320$ 的人是 $8!$（忘了交替约束）；选 $288$ 的人是 $4!\times4!$ 再减半的错算；选 $576$ 的人只算了一种起始。

考点：阶乘与排列数溢出（G1）。

（G1）考点：中间过程也会溢出——$20 \times 19 = 380$ 没事，但连乘到 $13!$ 时 int 就装不下了。

解析：a 是 380（int 内）；b 循环乘到 13 时约 $6.2\times10^9$ 超过 int 上限，之后是错误值。用杨辉递推（加法）可以避开大数乘法。

排除法：选"都正确"的人没意识到中间溢出；选"a 溢出 b 正确"的人说反了；选"都溢出"的人把没溢出的 a 也说成溢出。

考点：组合数边界判断（G2）。

（G2）考点：$k > n$ 时组合数为 $0$——$C(4,5) = 0$。

解析：从 4 个元素中取 5 个，方案不存在，记为 0（杨辉表中 $j>i$ 的格子天然保持 0）。

排除法：选 $5$ 的人无依据；选 $A(4,5)/5!$ 的人硬套公式会出现负数阶乘；选 $4$ 的人无依据。

考点：分类重叠的重复计数（G3）。

（G3）考点：或的计数要减去重叠部分——$10 + 6 - 3 = 13$。

解析：$2$ 的倍数 10 个，$3$ 的倍数 6 个，$6$ 的倍数 3 个（6,12,18 被数了两次）：$10 + 6 - 3 = 13$。

排除法：选 $20$ 的人数了全部（混入了两边都不是的）；选 $12$ 的人多减了一个；选 $16$（直接相加）的人重复计数。

考点：小数据枚举验证（G4）。

（G4）考点：不背公式也能核对——把 $C(4,2)$ 的 6 种取法全部列出来，确认公式结果。

解析：$\{1,2,3,4\}$ 取 2 个：12、13、14、23、24、34，恰好 6 个 = $C(4,2)$。

排除法：选 $4$ 的人是 $4\times1$；选 $12$ 的人是 $A(4,2)$（把 12 和 21 当两种）；选 $24$ 的人是 $4!$。

考点：鸽巢原理（H1）。

（H1）考点：鸽巢原理——$n+1$ 只鸽子进 $n$ 个巢，至少一个巢有 $\ge 2$ 只。$5$ 张牌 $4$ 种花色，至少 $\lceil 5/4 \rceil = 2$ 张同花色。

解析：若每种花色最多 1 张，$4$ 种花色最多装 $4$ 张，装不下 $5$ 张，矛盾——所以必有花色 $\ge 2$ 张。真题 2019 年考过（52 张抽 13 张至少 4 张同花色）。

排除法：选 $3$ 的人是 $\lceil 5/3 \rceil$ 式的错套；选 $1$ 的人不需要原理就显然；选 $4$ 的人那是抽 13 张的结论。

考点：相同物品相同袋的分拆（H2）。

（H2）考点：物品相同且袋子相同时分法只与"每袋个数构成的集合"有关——把 5 拆成最多 3 个部分。

解析：枚举：$5,\ 4+1,\ 3+2,\ 3+1+1,\ 2+2+1$，共 5 种。真题 2019 年考过（8 球 5 袋）。

排除法：选 $6$ 的人多算了一种；选 $7$ 的人无依据；选 $10$ 的人是按"袋子不同"算的思路。

考点：颠倒数字的计数（H3）。

（H3）考点：分类计数——十位只能取 $1,8,6,9$（颠倒后仍是数字且结果非 0 开头），每个十位唯一对应一个个位，共 4 个。

解析：十位不能是 0（颠倒后变末尾 0 不是两位数）；每个合法十位恰好对应 1 个颠倒结果。真题 2019 年考过（5 位车牌号）。

排除法：选 $16$ 的人是"个位也可以独立选"的思路；选 $8$ 的人把 0 也算进十位；选 $5$ 的人把 6/9 只算一个。

考点：配对问题的分类（H4）。

（H4）考点：分类相乘——先选"配成副"的 1 副 $C(3,1)=3$，再从剩下 2 副里各取 1 只（$2\times2=4$），共 $12$。

解析：恰好 1 副 = 那 1 副的 2 只都取 + 其余 2 只不配对（各来自不同的副）。真题 2020 年考过（5 副取 6 只恰好 2 副）。

排除法：选 $6$ 的人只算了选副；选 $18$ 的人忘了"不配对"约束；选 $24$ 的人是 $C(3,1)\times C(4,2)$ 的错式。

考点：子串的去重枚举（H5）。

（H5）考点：枚举计数 + 去重——abab 的子串按长度列出并去重。

解析：长度 1：a、b；长度 2：ab、ba（两个 ab 去重）；长度 3：aba、bab；长度 4：abab。共 $2+2+2+1 = 7$ 个。真题 2022 年考过（abcab）。

排除法：选 $8$ 的人去重时漏了某个；选 $9$ 的人多数了一个；选 $10$ 的人是长度 4 的总子串数（含重复）。

考点：带间隔约束的选择（H6）。

（H6）考点：约束枚举——不相邻子集：选 1 个 5 种、选 2 个不相邻 6 种、选 3 个（1,3,5）1 种，共 12。

解析：逐一枚举：$5 + 6 + 1 = 12$。小规模约束题按"选几个"分类枚举最稳。真题 2023 年考过（7 个时间段至少隔 2 个）。

排除法：选 $7$ 的人只算了选 1 个和部分选 2 个；选 $10$ 的人漏了选 3 个的情况；选 $15$ 的人把相邻的组合也算进去了。

考点：每类至少 1 的分布（H7）。

（H7）考点：每类至少 1 → 间接法：$C(5,3) - C(3,3) = 10 - 1 = 9$（总数减去"全男生"）。

解析：3 男 2 女选 3 人共 $C(5,3) = 10$；不含女生的只有"3 个男生"1 种；$10 - 1 = 9$。真题 2024 年考过（3 部门选 4 人每部门至少 1）。

排除法：选 $7$ 的人忘了减"全男生"或分类漏项；选 $6$ 的人只算了"1 男 2 女"；选 $10$ 的人没减全男生。

考点：球异盒异可空（I1）。

（I1）考点：球异盒异可空——每封信独立选邮筒：$3^4 = 81$。

解析：4 封信每封有 3 个选择，分步相乘：$3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$。注意幂方向是"盒数^球数"。

排除法：选 $12$ 的人是 $3\times4$ 相加式混淆；选 $27$ 的人是 $3^3$（少算一封信）；选 $64$ 的人是 $4^3$（幂方向反了）。

考点：球异盒异不空（I2）。

（I2）考点：球异盒异不空——先分组再入盒：$C(4,2)\times 3! = 36$。

解析：4 封信 3 筒每筒至少 1 封：必有一筒 2 封——选哪 2 封 $C(4,2)=6$，三组信分配三个筒 $3!=6$，共 $36$。

排除法：选 $24$ 的人少算了组合；选 $81$ 的人忘了"不空"约束；选 $12$ 的人只算了分组。

考点：球同盒异可空（I3）。

（I3）考点：球同盒异可空 = 隔板法 $C(n+k-1, k-1)$——$C(15,3) = 455$。

解析：12 个苹果 4 人允许空：先给每人垫 1 个变成至少 1（共 16 个），15 个间隙插 3 块板：$C(15,3) = 455$。这就是"12 分给 4 个人"的经典模型。

排除法：选 $12^4$、$4^{12}$ 的人把苹果当成了不同的（球异模型）；选 $165$ 的人忘了"允许空"要垫底（那是每人至少 1 的 $C(11,3)$）。