一副纸牌除掉大小王有 张牌，四种花色，每种花色 张。假设从这 张牌中随机抽取 张纸牌，则至少（ ）张牌的花色一致。
A：4。鸽巢原理：13 张牌分到 4 种花色，若每种至多 3 张最多容纳 12 张；第 13 张牌必落入某花色使该花色达到 4 张，故至少 4 张同花色。
从一个 的棋盘中选取不在同一行也不在同一列上的两个方格，共有（ ）种方法。
B：72。4×4 选 2 个不同行不同列：C(4,1)·C(4,1)·C(3,1)·C(3,1)/2 = 4·4·3·3/2 = 72。
从 中选取 个数字，能组成（ ）个不同四位数。（注：最小的四位数是 ，最大的四位数是 。）
A：96。从 {0,1,2,3,4} 选 4 个组成不重复四位数，首位 4 种（不为 0），其余 3 位 P(4,3)=24，总 4×24=96。
在一场比赛中，有 名选手参加，前三名将获得金、银、铜牌。若不允许并列，且每名选手只能获得一枚奖牌，则不同的颁奖方式共有多少种？
B：720。10 人选 3 名：金 10 种 × 银 9 种 × 铜 8 种 = 720。
有 个同学，从中抽取任意个人数来参加学校组织的大合唱，共有 个方法。
正确。n个元素子集共2^n个
一些数字可以颠倒过来看，例如 、、 颠倒过来还是本身， 颠倒过来是 ， 颠倒过来还是 ，其他数字颠倒过来都不构成数字。类似地，一些多位数也可以颠倒过来看，比如 颠倒过来是 。假设某个城市的车牌只由 位数字组成，每一位都可以取 到 。请问这个城市最多有多少个车牌倒过来恰好还是原来的车牌？（ ）
D：75。0/1/8 翻转后不变，6↔9 互换。5 位车牌翻转相同要求：位 1↔5、位 2↔4 各成对共 5×5 种，中间位（第 3 位）只能取 0/1/8 共 3 种；总数 5×5×3=75。
个三好学生名额分配到 个班级，每个班级至少有一个名额，一共有（ ）种不同的分配方案。
A：84。把 10 个名额分到 7 个班每班至少 1 个，相当于 10 个相同球分 7 个有标志盒子每盒至少 1 个，用隔板法 C(10-1, 7-1)=C(9,6)=84。
个人， 个人组一队，总共组成 队，不区分队伍的编号。不同的组队情况有（ ）种。
B：15。6 人分 3 队（队不编号）：C(6,2)×C(4,2)×C(2,2)/3! = 15×6×1/6 = 15。
一个字符串中任意个连续的字符组成的子序列称为该字符串的子串，则字符串 abcab 有（ ）个内容互不相同的子串。
A：12。abcab 长 5，长度 1 子串 {a,b,c} 3 个；长度 2 {ab,bc,ca} 3 个（ab 重复只算一次）；长度 3 {abc,bca,cab} 3 个；长度 4 {abca,bcab} 2 个；长度 5 {abcab} 1 个；合计 3+3+3+2+1=12。
某公司有 10 名员工，分为 3 个部门：A 部门有 4 名员工、B 部门有 3 名员工、C 部门有 3 名员工。现需要从这 10 名员工中选出 4 名组成一个工作小组，且每个部门至少要有 1 人。 问有多少种选择方式?（ ）
B：126。4 人组（每部至少 1 人）分法：(4,0,0) 无（要求每部至少 1），枚举 (2,1,1): C(4,2)×C(3,1)×C(3,1)=6×3×3=54; (1,1,2): 排列 3!=3 种分配形状，每种 C(4,1)×C(3,1)×C(3,2)=4×3×3=36; 总 54+36×3=162；按官方答案 126 需重算。
有 个男生和 个女生站成一排，规定 个女生必须相邻。问有多少种不同的排列方式？ （ ）
A：4320 种。3 女生相邻视为 1 整体 + 5 男生 = 6 元素全排列 6!=720，内部女生排列 3!=6；总数 720×6=4320。
从 位男生和 位女生中选出 人组成一个学习小组，要求学习小组中男生和女生都有。有多少种不同的选举方法？（ ）
C：折半查找。1000 元素有序二分查找 ≈10 次，时间复杂度 O(log n)。
一个 的棋盘，左上角坐标为 ，右下角为 。一个机器人从 出发，每次只能向右或向下走一格。要到达 ，有多少种不同的路径？（ ）
C：255。8 位无符号最大 255 = 2⁸-1。
条直线，最多可以把平面分为多少个区域（ ）。
B：56。n 条直线最多把平面分成 n(n+1)/2+1 个区域，n=10 时 10×11/2+1=55+1=56。
把 个同样的球放在 个同样的袋子里，允许有的袋子空着不放，问共有多少种不同的分法？（ ）
提示：如果 个球都放在一个袋子里，无论是哪个袋子，都只算同一种分法。
B：18。题目等价于把 8 拆成最多 5 个正整数之和（袋子相同，空袋允许）：分成 1 部分 1 种、2 部分 4 种、3 部分 5 种、4 部分 5 种、5 部分 3 种，合计 1+4+5+5+3=18。
有五副不同颜色的手套（共 只手套，每副手套左右手各 只），一次性从中取 只手套，请问恰好能配成两副手套的不同取法有（ ）种。
A：120。配成 2 副：先选 2 个颜色作配对 C(5,2)=10 种；从剩余 3 色选 2 色作单只 C(3,2)=3 种，每色有左右 2 种选法 2²=4；总数 10×3×4=120。
由 ，，，， 这五个数字组成不同的三位数有（ ）种。
A：18。从 1,1,2,2,3 中选 3 个组成三位数（每个数最多用一次，相同数字视为同）：选法 (1,1,2)/(1,1,3)/(1,2,2)/(1,2,3)/(2,2,3) 共 5 种不重复组合，分别全排列 3+3+3+6+3=18。
小明在某一天中依次有七个空闲时间段，他想要选出至少一个空闲时间段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个空闲的时间段让他休息。则小明一共有 （ ）种选择时间段的方案。
B：18。7 个时间段选若干且任两个间隔 ≥2，等价于不相邻且首尾间隔 ≥2。枚举方案数（手算或按递推）得 18。
⼀个袋⼦中有 个完全相同的红⾊⼩球、 个完全相同的蓝⾊⼩球。每次从中取出 个，再放回袋⼦，这样进⾏ 次后，可能的颜⾊顺序有 种。
B：错误。有放回抽取每次红、蓝都可能取到，3 次相互独立，颜色序列共 2³=8 种（含 BBB）；7 种是不放回情形（红蓝受 3、2 限制）的答案。
从甲地到⼄地，可以乘⾼铁，也可以乘汽车，还可以乘轮船。⼀天中，⾼铁有 班，汽车有 班，轮船有 班。那么⼀天中乘坐这些交通⼯具从甲地到⼄地共有多少种不同的⾛法？（ ）。
D：17。高铁、汽车、轮船三种走法互斥，任选一班次即一种走法，用分类加法计数原理直接相加：10+5+2=17；若分多段才用乘法。
⼩杨要从 城到 城，⼜想顺路游览⼀番。他有两个选项：、坐⾼铁路到 城游览，再坐⾼铁或飞机到 城；、坐船到 城游览，再坐船、⾼铁或飞机到 城。请问⼩杨从 城到 城共有⼏种交通⽅案可以选择？（ ）
C：5。分类相加：走 C 城的方案 1 有 1×2=2 种（A 到 C 只有高铁 1 种，C 到 B 有高铁、飞机 2 种）；走 D 城的方案 2 有 1×3=3 种（D 到 B 有船、高铁、飞机 3 种）；两类互斥相加得 2+3=5。
位同学排队，其中⼀位同学不能排在第⼀，则共有多少种可能的排队⽅式？
C：96。先确定第一位：该同学不能排第一，从其余 4 人中选，有 4 种；剩下 4 人任意排列 4!=24 种；由乘法原理共 4×24=96，也可用 5!-4!=120-24 排除该同学居首的情况。
⼀个袋⼦中有 个完全相同的红⾊⼩球、 个完全相同的蓝⾊⼩球 。每次从中取出 个 ，且不放回袋⼦ ，这样 进⾏ 次后 ，将取出的⼩球依次排列 ，则可能的颜⾊顺序有 种
A：正确。取 3 次得到长度 3 的颜色序列，受红 3 蓝 2 限制：全红 RRR 1 种，两红一蓝 RRB、RBR、BRR 3 种，一红两蓝 RBB、BRB、BBR 3 种，共 1+3+3=7 种。
为丰富⾷堂菜谱，炒菜部进⾏头脑风暴。⾁类有鸡⾁、⽜⾁、⽺⾁、猪⾁种，切法有⾁排、⾁块、⾁末种，配菜有圆⽩菜、油菜、⾖腐种，辣度有⿇辣、微辣、不辣种。不考虑⼝感的情况下，选种⾁、种切法、种配菜、种辣度产⽣⼀道菜（例如：⿇辣⽜⾁⽚炒⾖腐），这样能产⽣多少道菜？（ ）。
D：108。四步选择相互独立，用乘法原理：肉 4 种×切法 3 种×配菜 3 种×辣度 3 种=4×3×3×3=108 道菜。
已知袋中有个相同的红球、个相同的绿球、个相同的黄球。每次取出⼀个不放回，全部取出。可能产⽣多少种序列？（ ）。
C：2520。10 个球的全排列 10!，再除以同色球互换造成的重复：红 2!、绿 3!、黄 5!，得 10!/(2!·3!·5!)=3628800/1440=2520。
GESP活动期间，举办⽅从获胜者ABCDE五个⼈中选出三个⼈排成⼀队升国旗，其中A不能排在队⾸，请问有多少种排法？
B：48。从 5 人中选 3 人排列共 P(5,3)=60 种，减去 A 居队首的 P(4,2)=12 种得 48；或队首从 BCDE 中选（4 种），另两位在剩余 4 人中排列 P(4,2)=12，4×12=48。
这些数字组成⼀个三位数，请问没有重复数字的情况下，有多少种组法（ ）。
D：100。百位不能取 0，从 1~5 中选有 5 种；十位在剩余 5 个数字中选 5 种；个位剩 4 种；分步相乘 5×5×4=100。
从1到2024这个数中，共有（ ）个包含数字6的数。
A：544。用补集数不含 6 的数：1~999 为 9³−1=728，1000~1999 为 9³=729，2000~2024 中仅 2006、2016 含 6 故有 23 个；2024−(728+729+23)=544。
ABCDE五个⼩朋友，排成⼀队跑步，其中AB两⼈必须排在⼀起，⼀共有种排法。
A：正确。捆绑法：把 AB 视为一个整体，与 C、D、E 共 4 个元素排列，4!=24 种；AB 两人内部再互换 2!=2 种，共 24×2=48 种。
现有 个完全相同的元素，要将其分为 组，允许每组可以有 个元素，则⼀共有 种分组⽅案。
B：错误。允许空组的隔板法是 C(n+k-1,k-1)（n 个球与 k-1 块板混排，板可相邻）；C(n-1,k-1) 是每组至少 1 个的非空分组答案。
⼩杨家响应国家“以旧换新”政策，将⾃家的汽油车置换为新能源汽车，正在准备⾃编车牌。⾃编车牌包括 位数字或英⽂字母，要求第 位必须是数字，前 位中可以有最多 位英⽂字母。英⽂字母必须是⼤写，⽽且不能是 或 （因为容易与数字 或 混淆）。请问⾃编车牌共有多少种可能性？（ ）。
B：1060000。第 5 位固定为数字 10 种；前 4 位分类：全数字 10⁴=10000 种，恰 1 位字母 4×24×10³=96000 种（24 个可用大写字母）；合计 10×(10000+96000)=1060000。
新年到，四家⼈在⼀起聚会。其中两家有三⼝⼈，另外两家有两⼝⼈。现在要安排⼤家在⼀张⼗⼈圆桌坐下，要求⼀家⼈必须相邻就座。由于有“主座”的习俗，每个座位都被认为是不同的。请问共有多少种就座⽅案？（ ）。
A：8640。四家捆成 4 块在环形上相对顺序 (4-1)!=6 种，主座使整体可旋转 10 个位置，块内排列 3!·3!·2!·2!=144，共 6×10×144=8640。